【精选】新课标高考数学二轮复习专题二函数与导数专题能力训练7导数与函数的单调性极值最值理

专题能力训练7 导数与函数的单调性、极值、最值

能力突破训练

1.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=af'(1)x+ln x,若f' =0,则a=()

D.2

C.1

B.-2

A.-1

2.(2017浙江,7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()

3.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是

A.f B.f -

C.f - -

D.f

- -

4.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3

+bx2

+cx-34的导函数为f'(x),f'(x)≤0的解集为

{x|-2≤x≤3}.若f(x)的极小值等于-115,则a的值是()

B.

A.-

D.5C.2

5.若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.

6.在曲线y=x3

+3x2

+6x-1的切线中,斜率最小的切线方程为. 7.设函数f(x)=aex+

+b(a>0).

(1)求f(x)在[0,+∞)上的最小值;

()

(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=x,求a,b的值.

8.设函数f(x)=xe+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.

(1)求a,b的值;

9.设a>1,函数f(x)=(1+x)e-a.

(1)求f(x)的单调区间;

2

a-x(2)求f(x)的单调区间.x(2)证明:f(x)在区间(-∞,+∞)上仅有一个零点;

(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原

点),证明:m≤ --1.

10.已知函数f(x)=x+

3

- 2

x-ax-a,x∈R,其中a>0. (1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;

函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值.

思维提升训练

(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)-m(t),求

11.(2017陕西咸阳二模)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R满足

f(x)+f'(x)<0,则下列结论正确的是()

2323

B.ef(2)ef(3)

2323

D.ef(2)≤ef (3)C.ef(2)≥ef(3)

12.已知f'(x)为定义在R上的函数f(x)的导函数,对任意实数x,都有f(x)

f(m+1)

(2)当x>0时,若f(x)>13.已知函数f(x)=

m+1

.

. (1)求函数f(x)的单调区间;

恒成立,求整数k的最大值.

14.已知函数f(x)=ln x-ax+x,a∈R. 2

(1)若f(1)=0,求函数f(x)的单调递减区间;

(2)若关于x的不等式f(x)≤ax-1恒成立,求整数a的最小值;

-

(3)若a=-2,正实数x1,x2满足f(x1)+f(x2)+x1x2=0,求证:x1+x2≥

.

15.(2017山东,理20)已知函数f(x)=x+2cos x,g(x)=e(cos x-sin x+2x-2),其中e≈2.718 28…是

自然对数的底数.(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.

参考答案

2

x(2)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.专题能力训练7 导数与函数的单调性、极值、最值

能力突破训练

1.D解析因为f'(x)=af'(1)+,所以f'(1)=af'(1)+1,易知a≠1,则f'(1)=

又因为f' =0,所以

,所以 -

f'(x)= -

+2=0,解得a=2.故选D. -

2.D解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<00,f(x)是增函数, 所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D. 3.C解析构造函数F(x)=f(x)-kx,

则F'(x)=f'(x)-k>0,

∴函数F(x)在R上为单调递增函数.

>0,∴F >F(0). - -

>-1, - -

∵F(0)=f(0)=-1,∴f

即f

-1=,∴f ,故C错误. - - - - -

2

4.C解析依题意得f'(x)=3ax+2bx+c≤0的解集是[-2,3],于是有3a>0,-2+3=-

,-2×3=,则 b=- ,c=-18a.

函数f(x)在x=3处取得极小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115, 则-a=-81,解得a=2.故选C.

5.1-ln 2解析对函数y=lnx+2求导,得y'=,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=

设直线y=kx+b与曲

线y=lnx+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1).由点

P1(x1,y1)在切线上,得y-(lnx1+2)= (x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)= (x-x2).因

为这两条直线表示同一条直线,

所以

解得x1= ,

所以k==2,b=lnx1+2-1=1-ln2.

6.3x-y-2=0解析y'=3x+6x+6=3(x+1)+3≥3.当x=-1时,y'min=3;当x=-1时,y=-5.

故切线方程为y+5=3(x+1),即3x-y-2=0. 7.解(1)f'(x)=ae-x2

2

当f'(x)>0,即x>-lna时,f(x)在区间(-lna,+∞)内单调递增; 当f'(x)<0,即x<-lna时,f(x)在区间(-∞,-lna)内单调递减.

①当00,f(x)在区间(0,-lna)内单调递减,在区间(-lna,+∞)内单调递增,从而f(x)在区间[0,+∞)内的最小值为f(-lna)=2+b;

②当a≥1时,-lna≤0,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,

从而f(x)在区间[0,+∞)内的最小值为f(0)=a++b. (2)依题意f'(2)=ae-2

22

,解得ae=2或ae=-(舍去).