阶段自测卷(五)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2019·贵州遵义航天中学月考)下列说法正确的是( )
A．空间中，两不重合的平面若有公共点，则这些点一定在一条直线上 B．空间中，三角形、四边形都一定是平面图形 C．空间中，正方体、长方体、四面体都是四棱柱
D．用一平面去截棱锥，底面与截面之间的部分所形成的多面体叫棱台 答案 A
解析 空间四边形不是平面图形，故B错；四面体不是四棱柱，故C错；平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分所形成的多面体才叫棱台，故D错；根据公理2可知A正确，故选A.
2．(2019·湛江调研)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．α∩β＝n，m?α，m∥β ?m∥n B．α⊥β，α∩β＝m，m⊥n ?n⊥β C．m⊥n，m?α，n?β ?α⊥β D．m∥α，n?α?m∥n 答案 A
解析 对于A，根据线面平行的性质定理可得A选项正确；对于B，当α⊥β，α∩β＝m时，若n⊥m，n?α，则n⊥β，但题目中无条件n?α，故B不一定成立；对于C，若m⊥n，m?α，n?β，则α与β相交或平行，故C错误；对于D，若m∥α，n?α，则m与n平行或异面，则D错误，故选A.
3．(2019·重庆万州三中月考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B→→→
的中点，且DF＝αAB＋βAC，则( )
1
A．α＝，β＝－1
21
B．α＝－，β＝1
21
C．α＝1，β＝－
21
D．α＝－1，β＝
2答案 A
解析 根据向量加法的多边形法则以及已知可得， →→→→1→→1→DF＝DC＋CB＋BF＝C1C＋CB＋BA1
221→→→1→1→1→→
＝A1A＋AB－AC＋BA＋AA1＝AB－AC， 22221
∴α＝，β＝－1，故选A.
2
→→→
4．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝(1， 2， 0)，AD＝(2， 1， 0)，CC1＝(0， 1， 5)，则对角线AC1的边长为( ) A．42 B．43 C．52 D．12 答案 C
→→→→→→→
解析 因为AC1＝AA1＋A1B1＋B1C1＝CC1＋AB＋AD＝(0， 1， 5)＋(1， 2， 0)＋(2， 1， 0)＝(3， 4， 5)， →所以|AC1|＝
32＋42＋52＝52，故选C.
5.(2019·凉山诊断)如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，下列结论中，正确的是( )
A．EF⊥BB1 B．EF⊥平面BCC1B1 C．EF∥平面D1BC D．EF∥平面ACC1A1 答案 D
解析 连接B1C交BC1于F，由于四边形BCC1B1是平行四边形，对角线互相平分，故F是B1C的中点．因为E是AB1的中点，所以EF是△B1AC的中位线，故EF∥AC，所以EF∥平面ACC1A1.故选D.
6．(2019·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)《九章算术》中“开立圆术”曰：“置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径”．“开立圆术”相当于给出了已知
球的体积V，求球的直径d的公式d＝?法计算该球的体积为( ) 4999A.π B. C. D. 31642答案 D
?16?V?.若球的半径为r＝1，根据“开立圆术”的方9??13解析 根据公式d＝?9?16??16?V?得，2＝?V?，解得V＝2.故选D. ?9??9?13137．已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为( ) 8π5π4π2πA. B. C. D. 3333答案 D
解析 因为球与各面相切，所以直径为2，且AC，AB1，CB1的中点在所求的切面圆上，所以所求截面为此三点构成的边长为2的正三角形的外接圆，由正弦定理知，
R＝
62π
，所以截面的面积S＝，故选D. 33
8．已知向量n＝(2， 0， 1)为平面α的法向量，点A(－1， 2， 1)在α内，则 P(1， 2，
－2)到α的距离为( ) A.
55 B.5 C．25 D. 510
答案 A
→
解析 ∵PA＝(－2， 0， 3)，
→|PA， ·n||－4＋3|5
∴点P到平面α的距离为d＝＝＝.
|n|55∴P(1， 2，－2)到α的距离为故选A.
9．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在A1C上运动(包括端点)，则BP与AD1所成角的取值范围是( ) ππ?A.??4，3? ππ?C.??6，2? 答案 D
解析 以点D为原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱→
长为1，设点P坐标为x，1－x，x(0≤x≤1)，则BP＝x－1，－x，x， →→→
BC1＝－1，0，1，设BP，BC1的夹角为α， →→BP， ·BC1
所以cos α＝＝→→BPBC1
1
11
，所以当x＝时，cos α
31?22?3?x－3?＋·2
3
ππ?B.??4，2? ππ?D.??6，3? 5. 5
()()
()
||||
(x－1)＋2x×
2
2
＝2取得最大值3π1π，α＝.当x＝1时， cos α取得最小值，α＝. 2623
因为BC1∥AD1.故选D.
10．(2019·淄博期中)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝4，AB＝27，CC1＝25，E，F分别为AC，CC1的中点，则直线EF与平面AA1B1B所成的角是( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案 A 解析
连接AC1，则EF∥AC1，直线EF与平面AA1B1B所成的角，就是直线EF与平面AA1B1B所成的角，AC1与平面AA1B1B所成的角；作C1D⊥A1B1于D，连接AD，因为直三棱柱ABC
－A1B1C1中，CA＝CB＝4，所以底面是等腰三角形，则C1D⊥平面AA1B1B，可知∠C1AD就是直线EF与平面AA1B1B所成的角，CA＝CB＝4，AB＝27，CC1＝25，可得C1D＝C1D3
42－?7?2＝3，AD＝?7?2＋?25?2＝33，所以tan∠C1AD＝＝，
AD3所以∠C1AD＝30°.故选A.
11．(2019·陕西汉中中学月考)点A，B，C，D，E是半径为5的球面上五点，A，B，C，D四点组成边长为42的正方形，则四棱锥E－ABCD体积的最大值为( ) 25664
A. B．256 C. D．64 33答案 A
解析 正方形ABCD对角线长为
?42?2＋?42?2＝8.则球心到正方形中心的距离d＝
1
52－42＝3.则E到正方形ABCD的最大距离为h＝d＋5＝8.则VE－ABCD＝×42×42×8
3256
＝.故选A. 3
12．(2019·四省联考诊断)如图所示，四边形ABCD为边长为2的菱形，∠B＝60°，点E，F分别在边BC，AB上运动(不含端点)，且EF∥AC，沿EF把平面BEF折起，使平面BEF⊥底面ECDAF，当五棱锥B－ECDAF的体积最大时，EF的长为( )
26A．1 B. C.3 D.2
3答案 B
解析 由EF∥AC可知△BEF为等边三角形，设EF＝x，等边△BEF的高为x2，所以五边形ECDAF的面积为2××?23－
33x，面积为24
3331
×22－x2＝23－x2，故五棱锥的体积为4443
?
13132632?
x－x3?′＝1－x2＝0，解得x＝，x×2x＝x－8x3(0
2020版新高考数学一轮(鲁京津琼)精练：阶段自测卷(五) (含解析)
