2．3 离散型随机变量的均值与方差 2．3.1 离散型随机变量的均值
1．理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)
2．掌握两点分布、二项分布的均值．(重点)
3．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关问题．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 离散型随机变量的均值 阅读教材P60～P61例1，完成下列问题． 1．定义：若离散型随机变量X的分布列为：
X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望． 2．意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
3．性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
1．下列说法正确的有________．(填序号)
①随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化； ②随机变量的均值反映样本的平均水平；
③若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4； ④随机变量X的均值E(X)＝
x1＋x2＋…＋xn
.
n
【解析】 ①错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．②错误，随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．③正确，由均值的性质可知．④错误，因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
【答案】 ③
2．已知离散型随机变量X的分布列为：
X P 1 35 2 310 3 110 则X的数学期望E(X)＝________. 3313
【解析】 E(X)＝1×5＋2×10＋3×10＝2. 3
【答案】 2
3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________. 【解析】 E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35. 【答案】 35
教材整理2 两点分布与二项分布的均值 阅读教材P62～P63，完成下列问题． 1．两点分布和二项分布的均值 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝p； (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 2．随机变量的均值与样本平均值的关系
随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．
1??
1．若随机变量X服从二项分布B?4，3?，则E(X)的值为________. 【导学
??
号：97270047】
14
【解析】 E(X)＝np＝4×3＝3. 4
【答案】 3
2．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的期望是________．
【解析】 因为P(X＝1)＝0.8，P(X＝0)＝0.2，所以E(X)＝1×0.8＋0×0.2＝0.8.
【答案】 0.8
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3：
[小组合作型]
两点分布与二项分布的均值
某运动员投篮命中率为p＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y的数学期望．
【精彩点拨】 (1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．
【自主解答】 (1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
X P 则E(X)＝0.6.
0 0.4 1 0.6 (2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
1．常见的两种分布的均值 设p为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E(X)＝p； (2)二项分布E(X)＝np.
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度． 2．两点分布与二项分布辨析
(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生． (2)不同点：
①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.
②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
[再练一题]
1．某种种子每粒发芽的概率为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，每个坑至多补种一次，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )
A．100 B．200 C．300 D．400
【解析】 由题意可知，补种的种子数记为X，X服从二项分布，即X～B(1 000,0.1)，所以不发芽种子的数学期望为1 000×0.1＝100.所以补种的种子数的数学期望为2×100＝200.
【答案】 B
离散型随机变量的均值公式及性质
已知随机变量X的分布列如下：
X P (1)求m的值； (2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
【精彩点拨】 (1)利用分布列的性质求m； (2)利用离散型随机变量的均值公式求解； (3)利用离散型随机变量均值的性质求解．
1111
【自主解答】 (1)由随机变量分布列的性质，得4＋3＋5＋m＋20＝1， 1
解得m＝6.
1111117
(2)E(X)＝(－2)×4＋(－1)×3＋0×5＋1×6＋2×20＝－30. (3)法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝ 62?17?
E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×?－30?－3＝－15.
??法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y P －7 14 －5 13 －3 15 －1 16 1 120 －2 14 －1 13 0 15 1 m 2 120 1111162
所以E(Y)＝(－7)×4＋(－5)×3＋(－3)×5＋(－1)×6＋1×20＝－15.
1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．
2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)
高中数学人教A版选修2-3 精品导学案：2.3.1 离散型随机变量的均值 Word版含解析
