* *
求数列通项公式的方法
一、公式法
n例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2，a1?2，求数列{an}的通项公式。
an?1an3an?1an3an，则，故数列????{}是n?1nn?1nn2222222an3a23以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，?1?(n?1)??122n221231n所以数列{an}的通项公式为an?(n?)2。
22n解：an?1?2an?3?2两边除以2n?1，得
n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2转化为
an?1an3?n?，说明数列n?1222aan3是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列{n}?1?(n?1)2n2n2{an}的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。 解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]??(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)??2?1]?(n?1)?1 (n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n22所以数列{an}的通项公式为an?n。
评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2n?1转化为an?1?an?2n?1，进而求
* *
出(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通项公式。
n例3 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。
nn解：由an?1?an?2?3?1得an?1?an?2?3?1则
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)??2(3n?1?3n?2?3(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1n所以an?3?n?1.
?(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?32?1)?(2?31?1)?3
?32?31)?(n?1)?3nn评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?an?2?3?1转化为an?1?an?2?3?1，
进而求出an?(an?an?1)?(an?1?an?2)?项公式。
?(a3?a2)?(a2?a1)?a1，即得数列{an}的通
n例4 已知数列{an}满足an?1?3an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。
nn?1解：an?1?3an?2?3?1两边除以3，得
an?1an21?n??n?1， n?13333则
an?1an21?n??n?1，故 n?13333ananan?1an?1an?2an?2an?3?(?)?(?)?(?)?3n3nan?1an?13n?23n?23n?3?(a2a1a1?)?32313
212121213?(?n)?(?n?1)?(?n?2)??(?2)?3333333332(n?1)11111??(n?n?n?1?n?2??2)?13333331(1?3n?1)nan2(n?1)32n11因此n， ???1???n331?3322?3* *
则an?211?n?3n??3n?. 322an?1an21?n??n?1，n?13333n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?2?3?1转化为
进而求出(anan?1an?1an?2an?2an?3?)?(?)?(?)?3n3n?13n?13n?23n?23n?3?(a2a1a1?an?，即得数列?)??n?32313?3?的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。 三、累乘法
n例5 已知数列{an}满足an?1?2(n?1)5?an，a1?3，求数列{an}的通项公式。
n解：因为an?1?2(n?1)5?an，a1?3，所以an?0，则
an?1?2(n?1)5n，故anan?anan?1??an?1an?2?a3a2??a1a2a1?[2(2?1)?52][2(1?1)?51]?3
?2?1?[2(n?1?1)5n?1][2(n?2?1)5n?2]??2n?1[n(n?1)??3?2n?1?3?2]?5(n?1)?(n?2)??n!n?1?3?5n(n?1)2所以数列{an}的通项公式为an?3?2?5n(n?1)2?n!.
n评注：本题解题的关键是把递推关系an?1?2(n?1)5?an转化为
an?1?2(n?1)5n，进而求an出
anan?1??an?1an?2?a3a2??a1，即得数列{an}的通项公式。 a2a1?(n?1)an?1(n?2)，求{an}的通
，an?a1?2a2?3a3?例6已知数列{an}满足a1?1项公式。
解：因为an?a1?2a2?3a3?所以an?1?a1?2a2?3a3??(n?1)an?1(n?2)
②
①
?(n?1)an?1?nan
* *
用②式－①式得an?1?an?nan. 则an?1?(n?1)an(n?2)
故
an?1?n?1(n?2) ananan?1??an?1an?2a3?a2?[n(n?1)?a2n!a2. 2所以an???4?3]a2? ③
由an?a1?2a2?3a3??(n?1)an?1(n?2)，取n?2得a2?a1?2a2，则a2?a1，又知
a1?1，则a2?1，代入③得an?1?3?4?5?所以，{an}的通项公式为an??n?n!。 2n!. 2an?1?n?1(n?2)，an评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?(n?1)an(n?2)转化为
进而求出
anan?1??an?1an?2?a3?a2，从而可得当n?2时，an的表达式，最后再求出数列{an}的a2通项公式。 四、待定系数法
n例7 已知数列{an}满足an?1?2an?3?5，a1?6，求数列?an?的通项公式。
解：设an?1?x?5n?1?2(an?x?5n)
④
nnn?1n将an?1?2an?3?5代入④式，得2an?3?5?x?5?2an?2x?5，等式两边消去
2an，得3?5n?x?5n?1?2x?5n，两边除以5n，得3?5x?2x,则x??1,代入④式得an?1?5n?1?2(an?5n)
⑤
an?1?5n?1n{a?5}是以由a1?5?6?5?1?0及⑤式得an?5?0，则，则数列?2nnan?51n* *
a1?51?1为首项，以2为公比的等比数列，则an?5n?2n?1，故an?2n?1?5n。
nn?1n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?5转化为an?1?5?2(an?5)，nn从而可知数列{an?5}是等比数列，进而求出数列{an?5}的通项公式，最后再求出数列
{an}的通项公式。
n例8 已知数列{an}满足an?1?3an?5?2?4，a1?1，求数列{an}的通项公式。
解：设an?1?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)
⑥
n将an?1?3an?5?2?4代入⑥式，得
3an?5?2n?4?x?2n?1?y?3(an?x?2n?y)
整理得(5?2x)?2?4?y?3x?2?3y。
nn令??5?2x?3x?x?5，则?，代入⑥式得
?4?y?3y?y?2
⑦
an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)
1由a1?5?2?2?1?12?13?0及⑦式，
an?1?5?2n?1?2得an?5?2?2?0，则?3， nan?5?2?2nn1故数列{an?5?2?2}是以a1?5?2?2?1?12?13为首项，以3为公比的等比数列，
nn?1n?1n因此an?5?2?2?13?3，则an?13?3?5?2?2。
n评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?3an?5?2?4转化为
an?1?5?2n?1?2?3(an?5?2n?2)，从而可知数列{an?5?2n?2}是等比数列，进而求
n出数列{an?5?2?2}的通项公式，最后再求数列{an}的通项公式。
已知数列递推定律求通项定律的几种方法
