分类例说一次函数在解决实际问题中的应用
利用一次函数解决生活中的实际问题，是培养学生应用意识的一个重要途径.我们有时 会综合应用一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，有时则需要数与形有 机地结合，有时又会利用分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法.以下就一次函数在生 活实际问题屮的应用类型作一些归纳探讨.
一、 求实际问题中一次函数的解析式及变量的取值范围
例1拖拉机耕地吋，每小吋的耗油量假定是个常量，已知拖拉机耕地2小吋油箱中余 油28升，耕地3小时油箱中余油22升.
(1) 写出油箱中的余油量Q(升)与工作时间z (时)之间的一次函数关系式. (2) 这台拖拉机工作4. 5小时后，油箱屮的余油量是多少升？
(3) 这台拖拉机工作3小时后，油箱中的油还够拖拉机继续耕地儿小时？ (4) 写出自变量r的取值范围.
本题利用待定系数法构建函数表达式.由两组对应量得出二元一次方程组，可求出函数 关系式，然后解决相应的问题.
二、 利用一次函数图像中的有关信息解题
例2如图1,小红和小华分别从4、B两地到远离学校的博物馆(A地、B地学校、博 物馆在一条直线上)，小红步行，小华骑车.
(1) 小红、小华谁的速度快？ (2) 出发后几小时两人相遇？ (3) A、B两地离学校分别有多远？
本题中一次函数在表示路程和时间的关系时，图像与横轴(时间)所夹的角度越大，表 明速度越快，反之所夹的角度越小，表明速度越慢.通过函数图像获取信息，可以判断出路 程、速度、时间等之间的关系，、培养学生的数形结合意识.
三、利用一次函数的性质及自变量取值范围确定最优方案
例3某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同.以每月用车路程x km计算，甲汽车 租赁公司的月租费是卩元，乙汽车租赁公司的月租费是力元.如果八、旳与兀Z间的关系 如图2,那么：
（1） 每月用车路程多少时，租用两家汽车租赁公司的车所需费用相同？ （2） 每月用车路程在什么范围内，租用甲汽车租赁公司的车所需费用较少？
（3） 如果该公司每月用车路程约为2300km,那么租用哪家汽车租赁公司的车所需费用 较
少？
本题可根据一次歯数的性质来读图思考：这两条直线有共同之处吗？哪一条直线上升得 更快一些？ “上升得更快一些”的实际意义是什么？如果该公司每月用车路程约为2300km, 那么租用哪家汽车租赁公司的车所需费用较少？要确定所选的方案，其实质就是比较两个函 数值的大小关系.我们除了用“图上作业法”也可以综合方程、不等式的思想，确定自变量 的取值范围，从而解决问题.
四、利用一次函数图像探究问题
例4为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力，某市调整出租车运价，调整方案 见下列表格及图像（其中g b, c为常数）.
收费标准 调价前 不超过3km的部分 超过3km不 超岀6km的部分 每公里2. 1元
. 行驶路程 调价后 起步价（1元 每公1IU元 起步价6元 每公里2. 1元 每公里C元 设行驶路程兀km时，调价前的运价力（元），调价后的运价为乃（元）.如图3,折线ABCD 表示旳与兀之间的函数关系式，线段EF表示当0 0W3时，刃与x的函数关系式，根据图 表信息，完成下列各题：
① 填空：a= ________ , b= ________ , c= __________ ;
② 写出当x>3时，力与x的关系，并在图3中画出该函数的图像.
③ 函数刃与力的图像是否存在交点？若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意 义；若不存在，请说明理由.
本题我们根据图中点的坐标探索其函数关系式，需要我们大胆地进行猜想、推理、验证, 得出问题的结论，本题能够较好的培养学生对问题的探究能力.
五、运用分类讨论思想解决分段函数问题
例5 —列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同吋出发，设慢车行 驶的时间为兀(h),两车之间的距离为y(km),图4中的折线表示y与x之间的函数关系.根 据图像进行以下探究：
(1) 甲、乙两地Z间的距离为 _________ km； (2) 请解释图中点B的实际意义； (3) 求慢车和快车的速度；
(4) 求线段BC所表示的y与兀之问的函数关系式，并写出自变量x的収值范围； (5) 若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢 车
相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚岀发多少小时？
本题中不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图像是一个折线.解决分段函数 问题，关键是要与所在的区间相对应.分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又 分别在两段函数上.求解析式吋要用好“折点”坐标，同吋在分析图像吋还要注意“折点” 表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值.分段函数应用广泛，在收费问 题、行程问题及几何动态问题中都有应用.
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