1997年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题
一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1) 设 y?f(lnx)ef(x) ,其中f可微,则dy? . 1113(2) 设f(x)??x?f(x)dx,则 ?f(x)dx? .
001?x211??011?101?11???11011?(3) 设n阶矩阵A???,则|A|? .
???11101???11110??(4) 设A,B是任意两个随机事件,则P{(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)}? . (5) 设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布,随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布.
若P{X?1}?5,则P{Y?1}? . 9
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 设f(x),?(x)在点x?0的某邻域内连续,且当x?0时,f(x)是?(x)的高价无穷小,
则当x?0时,
?x0f(t)sintdt是?t?(t)dt的 ( )
0x(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 同阶但不等价的无穷小 (D) 等价无穷小
(2) 若f(?x)?f(x)(???x???),在(??,0)内f?(x)?0,f??(x)?0,则f(x)在
(0,??)内有 ( )
(A) f?(x)?0,f??(x)?0 (B) f?(x)?0,f??(x)?0 (C) f?(x)?0,f??(x)?0 (D) f?(x)?0,f??(x)?0
(3) 设向量组?1,?2,?3线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )
(A) ?1??2,?2??3,?3??1 (B) ?1??2,?2??3,?1?2?2??3
(C) ?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1
(D) ?1??2??3,2?1?3?2?22?3,3?1?5?2?5?3
(4) 非齐次线性方程组Ax?b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩为r,则
( )
(A) r?m时,方程组Ax?b有解 (B) r?n时,方程组Ax?b有惟一解 (C) m?n时,方程组Ax?b有惟一解 (D) r?n时,方程组Ax?b有无穷多解 (5) 设X是一随机变量,E(X)??,D(X)??(?,??0常数),则对任意常数c,必有
( )
(A) E(X?c)?E(X)?c (B) E(X?c)?E(X??) (C) E(X?c)?E(X??) (D) E(X?c)?E(X??)
三、(本题满分6分)
求极限lim[?(x?02222222222ax1?a2)ln(1?ax)](a?0). 2x
四、(本题满分6分)
设u?f(x,y,z)有连续偏导数,y?y(x)和z?z(x)分别由方程e?y?0和
xyez?xz?0所确定,求
五、(本题满分6分)
du. dx假设某种商品的需求量Q是单价p(单位：元)的函数：Q?12000?80p,商品的总成本C是需求量Q的函数：C?25000?50Q；每单位商品需要纳税2元,试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额.
六、(本题满分7分)
求曲线y?x?2x,y?0,x?1,x?3所围成的平面图形的面积S,并求该平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V.
七、(本题满分7分)
设函数f(x)在(??,??)内连续,且F(x)?2?x0(x?2t)f(t)dt,试证：
(1) 若f(x)为偶函数,则F(x)也是偶函数. (2) 若f(x)为单调不增,则F(x)单调不减.
八、(本题满分6分)
设D是以点O(0,0),A(1,2)和B(2,1)为顶点的三角形区域,求
??xdxdy.
D九、(本题满分7分)
设A为n阶非奇异矩阵,?为n维列向量,b为常数.设分块矩阵
?EP??T????A0??A,Q???TA?????b??
其中A?是矩阵A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQ；
(2) 证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是?A??b.
十、(本题满分9分)
设矩阵A与B相似,且
T?1?1?11??200??,B??020?
A??24?2????????3?3a???00b??(1) 求a,b的值；
(2) 求可逆矩阵P,使PAP?B.
十一、(本题满分8分)
假设随机变量X的绝对值不大于1；P{X??1}??111,P{X?1}?；在事件84{?1?X?1}出现的条件下,X在(?1,1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长
度成正比. 试求：
(1) X的分布函数F(x)?P{X?x}； (2) X取负值的概率p.
十二、(本题满分8分)
假设随机变量Y服从参数为??1的指数分布,随机变量
99考研数四真题及解析
