微专题七 与圆交汇问题的求解
与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质． 一、与圆有关的最值问题
→→例1 (1)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0)，则|PA＋PB→
＋PC|的最大值为________．
(2)过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为________． 答案 (1)7 (2)－
3 3
→→→
解析 (1)∵A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆的直径，故PA＋PC＝2PO＝→
(－4,0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，PB＝(x－2，y)， →→→
∴PA＋PB＋PC＝(x－6，y)． →→→
故|PA＋PB＋PC|＝－12x＋37， ∴当x＝－1时有最大值49＝7.
111
(2)∵S△AOB＝OA·OBsin∠AOB＝sin∠AOB≤. 222
π
当∠AOB＝时，△AOB的面积最大．
2
此时O到AB的距离d＝
2. 2
设AB的方程为y＝k(x－2)(k<0)， 即kx－y－2k＝0. 由d＝
二、直线与圆的综合问题
例2 (1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝________.
(2)已知直线y＝ax＋3与圆x2＋y2＋2x－8＝0相交于A，B两点，点P(x0，y0)在直线y＝2x上，且PA＝PB，则x0的取值范围为________________． 答案 (1)6 (2)(－1,0)∪(0,2)
解析 (1)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴， ∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上， ∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)． ∴AC2＝36＋4＝40.又r＝2，∴AB2＝40－4＝36. ∴AB＝6.
(2)由条件得圆心C(－1,0)， 它到直线l：y＝ax＋3的距离为d＝3解得a>0或a<－. 4
由PA＝PB，CA＝CB，得PC⊥l， 12x01
于是kPC＝－(易知a≠0)，即＝－.
aax0＋1由
2x02x04<0或0<<， x0＋1x0＋13
|3－a|<3，
1＋a2
|2k|23?3?
＝，得k＝－.. 也可用k＝－tan∠OPH＝－2233??k＋1
得－1 例3 在平面直角坐标系xOy中，若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m的取值范围是________． 答案 (2－23，2)∪(2,2＋23) 解析 由题意可知，以A(2,2)为圆心，1为半径的圆与以B(m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4<(m－2)2＋4<16，所以－23＋2
2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第八章 微专题七 与圆交汇问题的求解 (含解析)
