立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
1．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α两不共线向量，n为平面α的法向量，
?n·a＝0，则求法向量的方程组为?
?n·b＝0.
2．用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l?α?存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l?α?v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β?u1 ∥u2. 3．用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2?v1⊥v2?v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α?v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β?u1⊥u2?u1·u2＝0. 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．( )
(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．( )
..
1．下列各组向量中不平行的是( ) A．a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4) B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0) C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0) D．g＝(－2,3,5)，h＝(16,24,40)
2．已知平面α有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α的是( ) A．P(2,3,3) C．P(－4,4,0)
B．P(－2,0,1) D．P(3，－3,4)
→→→→→
3．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面
ABC，则实数x，y，z分别为______________．
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4．若A(0,2，)，B(1，－1，)，C(－2,1，)是平面α的三点，设平面α的法向量n＝(x，
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y，z)，则x∶y∶z＝________.
题型一 证明平行问题
例1 (2013·改编)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥
CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线
段AC上，且AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面BCD.
..
如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，
AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．
(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
..
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
