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1977年普通高等学校招生考试理科数学(上海市)试题及答案
aa2aa2?)?(?) 1．（1）化简(a?ba2?2ab?b2a?ba2?b2aa(1?)a?b?b?a. 解:原式=a?baaa?b(1?)a?ba?b1（2）计算lg25?lg2?lg0.1?log29?log32
21解:原式=?
2（3）?1?i,验算i是否方程2x4+3x3-3x2+3x-5=0的解 解:令x=i,左边=2-3i+3+3i-5=0
所以i是所给方程的一个解 ??sin(??)cos(??)244（4）求证:??.
??cos2?sin(??)cos(??)44????sin(??)cos(??)?cos(??)sin(??)4444证:左边???sin(??)cos(??)44 ?sin122????右边.??1cos2?sin(??)cos(??)cos2?4422．在△ABC中,∠C的平分线交AB于D,过D作BC的平分线交AC于E,已知BC=a,AC=b,求DE的长 解:∵DE∥BC,∴∠1=∠3 又∠1=∠2,∴∠2=∠3 DE=EC由△ADE∽△ABC,
?DEBC?AEDEb?DE,?,ACab
B
D 3 1 2
A E C
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b·DE=ab-a·DE,
DE?ab.a?b
3．已知圆A的直径为23,圆B的直径为4?23,圆C的直径为2,圆A与圆B外切,圆A又与圆C外切,∠A=600,求BC及∠C 解:由已知条件可知,AC=1?3,AB=2,∠CAB=600 根据余弦定理,可得BC=6 由正弦定理,则sinC?AB?sinA2?,??C?45? BC24．正六棱锥V-ABCDEF的高为2cm,底面边长为2cm （1）按1:1画出它的二视图;（2）求其侧面积; （3）求它的侧棱和底面的夹角 解:（1）见六五年试题1 （2）斜高为22?(31?2)2?7(cm),故侧面积?6??2?7?67(cm2) 22（3）侧棱与底面的夹角为450 5．解不等式
?16?x2?0并在数轴上把它的解表示出来 ?2?x?x?6?0解:略-4≤x＜-2,3＜x≤4.
6．已知两定点A（-4,0）、B（4,0）,一动点P（x,y）与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为?准方程,指出是什么曲线 1求点P的轨迹方程,并把它化为标4解:直线PA、PB的斜率分别是
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yyyy1,k2?.由题意???x?4x?4x?4x?44x2y222 x?4y?16其标准方程为??1,164故此曲线为椭圆k1?7．等腰梯形的周长为60,底角为600,问这梯形各边长为多少时,面积最大？
解:设等腰梯形的腰长为x,则有
AE=,BE=
BC?
B C x A 600 D E
x23x2,
60?2?AB?2AE2
60?2x?x60?3x??.22等腰梯形ABCD的面积=
BC?AD?BE?(BC?AE)?BE 260?3xx33?)?x?(30x?x2)2222 3?[225?(x?15)2].2?(由此可知,当且仅当x=15时等腰梯形的面积最大此时,腰AB=CD=x=15,
上底BC=7.5,下底AD=BC+2AE=22.5 8．当k为何值时,方程组?求出它的解 ?x?y?2?0???(1)?kx?y?2k?10?0??(2)有两组相同的解？并
解:由（1）,x≥0,y≥2 由（2）,y=kx-2k-10.代入（1）,得
1977年普通高等学校招生考试(上海市)理科数学试题及答案
