解析：由题意知ax－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得
??a<0，?解得－3≤a<0，故－3≤a≤0. 2
?Δ＝4a＋12a≤0，?
2
答案：[－3，0] 16．已知p：?1－
?
?
x－1?
≤2，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，且綈p是綈q的必要而不充分3??
条件，则实数m的取值范围为________．
解析：法一：由?1－
??
x－1?
≤2，得－2≤x≤10， 3??
所以綈p对应的集合为{x|x>10或x<－2}， 设A＝{x|x>10或x<－2}． 1－m≤x≤1＋m(m>0)，
所以綈q对应的集合为{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}， 设B＝{x|x>m＋1或x<1－m，m>0}． 因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件，所以BA，
m>0，??
所以?1－m≤－2，且不能同时取得等号．
??1＋m≥10，
解得m≥9，所以实数m的取值范围为[9，＋∞)． 法二：因为﹁p是﹁q的必要而不充分条件， 所以q是p的必要而不充分条件． 即p是q的充分而不必要条件，
因为q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}， 设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}， 又由?1－
??
x－1?
≤2，得－2≤x≤10， 3??
所以p对应的集合为{x|－2≤x≤10}， 设N＝{x|－2≤x≤10}． 由p是q的充分而不必要条件知NM，
m>0，??
所以?1－m≤－2，且不能同时取等号，解得m≥9.
??1＋m≥10，
所以实数m的取值范围为[9，＋∞)． 答案：[9，＋∞) 17．给出下列命题：
①已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件；
②“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件；
③“函数f(x)＝cosax－sinax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件； ④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b＜0”．其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)
解析：①因为“a＝3”可以推出“A?B”，但“A?B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件，故①正确；②“x＜0”不能推出“ln(x＋1)＜0”，但“ln(x＋1)＜0”可以推出“x＜0”，所以“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的必要不充分条件，故②正2π22
确；③f(x)＝cosax－sinax＝cos 2ax，若其最小正周期为π，则＝π?a＝±1，因此
2|a|“函数f(x)＝cosax－sinax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b＜0”，但由“a·b＜0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a·b＜0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.
答案：①②
[综合题组练]
π?π1?1．设θ∈R，则“?θ－?<”是“sin θ<”的( )
12?122?A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
π?πππππ?解析：选A.因为?θ－?＜?－＜θ－＜?0＜θ＜， 12?121212126?7ππ?1?2kπ－，2kπ＋sin θ＜?θ∈??，k∈Z，
66?2?
2
22
2
?0，π??2kπ－7π，2kπ＋π?，k∈Z，
????6??66??
π?π1?所以“?θ－?＜”是“sin θ＜”的充分而不必要条件．
12?122?
??1x?
2．已知集合A＝?x?<2<8，x∈R?，B＝{x|－1 ??2? 分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是________． ??1x? 解析：因为A＝?x?<2<8，x∈R?＝{x|－1 ??2? x∈A， 所以AB，所以m＋1>3，即m>2. 答案：m＞2 3．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”． (1)写出否命题，判断其真假，并证明你的结论； (2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论． 解：(1)否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则 f(a)＋f(b) 因为a＋b<0，所以a<－b，b<－a. 又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．所以f(a) (2)逆否命题：已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b) a)＋f(－b)，则a＋b<0. 真命题，可通过证明原命题为真来证明它． 因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a， 因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)， 所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)， 故原命题为真命题，所以逆否命题为真命题． 4．已知两个关于x的一元二次方程mx－4x＋4＝0和x－4mx＋4m－4m－5＝0，求两方程的根都是整数的充要条件． 解：因为mx－4x＋4＝0是一元二次方程， 所以m≠0. 又另一方程为x－4mx＋4m－4m－5＝0，且两方程都要有实根， ??Δ1＝16（1－m）≥0，所以? 22 ?Δ＝16m－4（4m－4m－5）≥0，?2 2 2 2 2 2 2 ?5?解得m∈?－，1?. ?4? 因为两方程的根都是整数， 故其根的和与积也为整数， ??m∈Z，所以? 4m∈Z，??4m－4m－5∈Z. 2 4 所以m为4的约数． 又因为m∈错误!， 所以m＝－1或1. 当m＝－1时，第一个方程x＋4x－4＝0的根为非整数； 而当m＝1时，两方程的根均为整数， 所以两方程的根均为整数的充要条件是m＝1. 5．已知p：x－7x＋12≤0，q：(x－a)(x－a－1)≤0. (1)是否存在实数a，使﹁p是﹁q的充分不必要条件，若存在，求实数a的取值范围；若不存在，请说明理由． (2)是否存在实数a，使p是q的充要条件，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 解：因为p：3≤x≤4，q：a≤x≤a＋1. (1)因为﹁p是﹁q的充分不必要条件， 所以﹁p?﹁q，且﹁q?/﹁p，所以q?p，且p?/ q， 即q是p的充分不必要条件， 故{x|a≤x≤a＋1}{x|3≤x≤4}， 所以? ?a>3，? ?a≥3，? 或?无解， ??a＋1≤4a＋1<4，?? 2 2 所以不存在实数a，使﹁p是﹁q的充分不必要条件． ??a＝3，(2)若p是q的充要条件，则{x|a≤x≤a＋1}＝{x|3≤x≤4}，所以? ?a＋1＝4，? 解得a＝3. 故存在实数a＝3，使p是q的充要条件．
2024版新高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语2第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件教学案
