第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＋2x－3＜0”是命题．( )
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p?q且?/ p p?/q且q?p p?q p?/q且q?/p (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则﹁q”．( )
(3)若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真．( ) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( ) (5)q不是p的必要条件时，“p ?/q”成立．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√ [教材衍化]
1．(选修2－1P12A组T2改编)命题“若x>y，则x>y”的逆否命题是________，是________命题(填“真”或“假”)
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解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x>y，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x≤y”．
答案：若x≤y，则x≤y 假
2．(选修2－1P12A组T3改编)设x∈R，则“2－x≥0”是“(x－1)≤1”的________条件．
解析：2－x≥0，则x≤2，(x－1)≤1，则－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“(x－1)≤1”的必要不充分条件．
答案：必要不充分 [易错纠偏]
(1)命题的条件与结论不明确； (2)对充分必要条件判断错误．
1．命题“若a＋b＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________． 答案：若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a＋b≠0 2．条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________； (2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是________． 解析：设A＝{x|x>a}，B＝{x|x≥2}， (1)因为p是q的充分不必要条件， 所以A2
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B，所以a≥2；
(2)因为p是q的必要不充分条件， 所以BA，所以a<2.
答案：(1)a≥2 (2)a<2
四种命题的相互关系及真假判断
(1)(2024·浙江重点中学模拟)已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：
“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题 C．逆否命题
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B．否命题 D．否定
(2)(2024·温州模拟)命题“若x＋y＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是( ) A．若x≠y≠0，x，y∈R，则x＋y＝0 B．若x＝y≠0，x，y∈R，则x＋y≠0 C．若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x＋y≠0
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D．若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x＋y≠0
【解析】 (1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题，故选B.
(2)将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.
【答案】 (1)B (2)D
(1)写一个命题的其他三种命题时需关注2点 ①对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写． ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．
[提醒] 四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．
(2)判断命题真假的2种方法
①直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
②间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．
1．命题“若a>b，则a>b”的否命题是( ) A．若a>b，则a≤b C．若a≤b，则a>b
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B．若a≤b，则a≤b D．若a≤b，则a≤b
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解析：选B.根据命题的否命题若“﹁p，则﹁q”知选B. 2．下列命题中为真命题的是( ) A．命题“若x＞1，则x＞1”的否命题 B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 C．命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题 1
D．命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题
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x解析：选B.对于A，命题“若x＞1，则x＞1”的否命题为“若x≤1，则x≤1”，易知当x＝－2时，x＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若
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x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命
题为“若x≠1，则x＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x＋x－2＝0，故为假命题；对于D，11
命题“若＞1，则x＞1”的逆否命题为“若x≤1，则≤1”，易知为假命题，故选B.
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充分条件、必要条件的判断(高频考点)
充分条件、必要条件的判断是高考命题的热点，常以选择题的形式出现，作为一个重要载体，考查的知识面很广，几乎涉及数学知识的各个方面．主要命题角度有：
(1)判断指定条件与结论之间的关系； (2)与命题的真假性相交汇命题． 角度一 判断指定条件与结论之间的关系
(1)(2024·高考浙江卷)设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2024·高考浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A．充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 (1)通解：因为a>0，b>0，所以a＋b≥2ab，由a＋b≤4可得2ab≤4，1
解得ab≤4，所以充分性成立；当ab≤4时，取a＝8，b＝，满足ab≤4，但a＋b>4，所以
3必要性不成立，所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.
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优解：在同一坐标系内作出函数b＝4－a，b＝的图象，如图，则不等式a＋b≤4与ab≤4
a4
表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b＝及其左下
a方(第一象限中的部分)，易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．故选A.
(2)若m?α，n?α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m?α，n?α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.
【答案】 (1)A (2)A
角度二 与命题的真假性相交汇命题
(2024·杭州模拟)下列有关命题的说法正确的是( ) A．“x＝－1”是“x－5x－6＝0”的必要不充分条件 B．p：A∩B＝A；q：A2
B，则p是q的充分不必要条件
C．已知数列{an}，若p：对于任意的n∈N，点Pn(n，an)都在直线y＝2x＋1上；q：{an}为等差数列，则p是q的充要条件
D．“x<0”是“ln(1＋x)<0”的必要不充分条件
【解析】 选项A：当x＝－1时，x－5x－6＝0，所以x＝－1是x－5x－6＝0的充分条件，故A错．
选项B：因为A∩B＝A?/A而A2
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B(如A＝B)，
B?A∩B＝A，从而p?/ q，q?p，
所以p是q的必要不充分条件，故B错． 选项C：因为Pn(n，an)在直线y＝2x＋1上． 所以an＝2n＋1(n∈N)，
则an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，
又由n的任意性可知数列{an}是公差为2的等差数列，即p?q.
但反之则不成立，如：令an＝n，则{an}为等差数列，但点(n，n)不在直线y＝2x＋1上，从而q?/ p.
从而可知p是q的充分不必要条件，故C错．
选项D：利用充分条件和必要条件的概念判断．因为ln(x＋1)<0?0 【答案】 D 判断充要条件的3种常用方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假． (2)等价法：利用A?B与﹁B?﹁A，B?A与﹁A?﹁B，A?B与﹁B?﹁A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． (3)利用集合间的包含关系判断：若A?B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． [提醒] 判断充要条件需注意3点 (1)要分清条件与结论分别是什么． (2)要从充分性、必要性两个方面进行判断． (3)直接判断比较困难时，可举出反例说明． 11ab1．(2024·杭州市富阳二中高三开学检测)若a，b为实数，则“ 3<3”是“>”|a||b|的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 *
2024版新高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语2第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件教学案
