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(4).f(x)是连续函数：limf?g?x???f?limg?x???a
??x?x0?x?x0?（5）求两个数列之商的极限，在两数列都具有高次项的情况下，可以直接比较最高次项而忽略较低次项，该原理仅仅限于无穷数列，对于有穷数列不能直取。 （6）分母趋近于0，而分子不为0，其极限不存在或无穷
（7）xn?c?c?...?c,limxn?1?1?4cn??2证明：xn?c?xn?1,所以limxn?limxn?1(☆）n??n??n??n??n??
设limxn?A,对（☆）两侧求极限可知limxn?c?limxn?1所以，A?C?A，A?1?1?4c2
（8）在计算极限题目中，若题目中同时出现sinx、arcsinx、或者cosx、arcsosx时，令t=sinx或cosx
（9）在求极限的过程中如果遇到n次项等高次项而无法解题时，一般可以通过借助ex进行消去高次项的运算，有的也可以使用泰勒公式。
（10）计算极限时出现出现tan(tanx)或者sin(sinx)的形式，应用泰勒公式计算。
11）三个重要的结果 （
a1?a2?...?an?an??n??n②若liman?a(an＞0),则limna1?a2...an?a①若liman?a,则limn??n??
③若an＞0，n?1,2,3,...,liman?1?a,则limnan?an??an??n（12）有的题目涉及递推公式、数列问题
1352n?3?2?3?...?n?1如： 2222解题思路：2Sn?SnSn?函数的连续性和间断点问题
（1）如何讨论并确定函数的连续性？
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①若该函数是初等函数，则该函数在其定义域区间均连续
②若是一元函数，则可对其求导，其导数在某点上有意义则函数在该点必然连续（可导必连续）
③求助极限，函数在该点极限等于函数在该点函数值，计算时注意左右极限 （2）间断点问题 间断点的分类：
①若limf(x)?A,而f(x)在x?x0处没有定义或者有定义但f(x)?A，则称为f(x)的x?x0可去间断点。若x?x0为函数f(x)的可去间断点，只需补充定义或改变f(x)在x?x0的函数值，使f(x)在x?x0处连续，此时f(x)已经不是原函数。②若lim?f(x)?f(x0),lim?f(x)?f(x0)。但f(x0)?f(x0),则称x?x0为函数f(x)x?x0x?x0????的跳跃间断点，f(x0)?f(x0)称为跳跃度可去间断点和跳跃间断点统称第一类间断点。第一类间断点的特点是左右极限均存在③若f(x)在x?x0的左右极限至少有一个不存在时，x?x0称为函数f(x)的第二类间断点如果函数f(x)在区间?a,b?上仅有有限个第一类间断点，则函数f(x)在区间?a,b?上按段连续（3）一致连续与不一致连续
??一致连续（均匀连续）：设函数f(x)定义在集合x上，若??＞0.??（?）＞0当x'、x''?x且满足x'?x''＜?时，就有f(x')?f(x'')＜?，则称f(x)在x上一致连续。定义表明，无论x中的两点x'和x''位置怎样，只要二者充分靠近，相应函数值差
的绝对值就可以任意地小。不一致连续：设函数f(x)定义在集合x上，存在?0＞0，无论对多么小的?＞0，总存在x'、x''，尽管x'?x''＜?，但是f(x')?f(x'')??0?lim?f(x)?A?x?x0limf(x)?A?充要条件????? x?x0limf(x)?A??x?x0?【第三部分】导数与微分
法线斜率和切线斜率相乘等于-1（切线与法线垂直）
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?u1?u2?...?un?'?u1'?u2'?...?un'
?u1?u2?...?un?'?u1'u2...un?u1?u2'...un?...?u1?u2...un'
反函数求导：反函数导数×原函数导数=1 或写成：
dydx?1dxdyy?y0x?x0
常见的函数的导数（基础函数求导）：
?c?'?0?c为常数? ?x??'???x?-1 ?ax?'?ax?lna
?e?'?exx log?ax ?'?x?1lna ?lnx?'?1x ?sinx?'?cosx ?cosx?'?-sinx ?ln?'?1xx?tanx?'?1?tan2x?sec2x ?cotx?'?-csc2x
?secx?'?secx?tanx ?cscx?'?-cscx?cotx ?arcsinex?'?11-x2 ?arccosx?'?-11-x2
?arctanx?'?
11 ??arccotx'?-1?x21?x2特殊复合函数：y?u?x?（x）的求导方法：
?转化?y?euv?x??ln?x?vvu'???y'?uv?v?lnu??
u??y=f（x）亦称为“零阶导数”（函数的零阶导数就是其本身）
隐函数：F（x，y）=0，y=f（x）带入即可得到F【x，f（x）】=0，满足该恒等式即为隐函数
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国际数学通用标记：
??D?a、b???f?x?f?x?在?a、b?上可导? ?C?a、b???f?x?f?x?的二阶导数在?a、b?的区间上连续D?a、b???f?x?f?x?在?a、b?内二次可导?C?a、b??f?x?f?x?是?a、b?上的连续函数22易错点：求导时，不能将y与f（x）等同。二者导数未必一致 【带有绝对值的函数该如何求导？】
带有绝对值的函数脱掉绝对值符号后是一个分段函数，应当分段求导。特别应注意的是，分段点的导数严格来讲，应当按定义来求。 【经典题型总结】
（1）设函数f（x）在x≠0时可导，且对任何非零数x，y均有f(x·y)=f(x)+f(y),又f(1)存在。证明当x≠0时，f(x)可导。
证：令x=1，由f(x·y)=f(x)+f(y)得：f(y)=f(1)+f(y)，所以：f(1)=0 对任何x≠0，由题设及导数定义知，
△x??f(x)?f(1?)?-f(x)?f(x?△x)?f(x)f?x?1?△x???f(x)x?lim?lim?lim?
△x?0△x?0△x?0△x△x△x
1f(1?△x）-f(1)1??f'(1)△x?0x△xx
x所以函数在f(x)不等于0的时候处处可导?limd2ydydy（2）在方程x?ax??ax??a2y?0(a1,a2为常数）中令x?et,证明可将112dxdxdxd2ydy 方程化成如下的形式：2?(a1?1)?a2y?0dtdt21.
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dydydtdy?td2ydy'dtdy'1?dy?t??t证：????e;2???????e?'?e
dxdxdtdxdtdxdtdxdt?dt?dtd2y?tdy?t?td2y?2tdy?2t?(2?e??e)?e?2?e??e dtdtdtdt
d2y?2tdy?2tdy?t原式?e(2e?e)?a1ete?a2y?0dxdxdx 2dydy所以：2?(a1?1)?a2y?0dtdt2t
d??dx??（3）化简：???dx??dy????1?? ???1d??dx??解：原式????dx??dy????2?d??dx??1?dy???????? ??dy??dy??dx?????1?3?dx?d2x?dx??dx?d2x ????dy???dy2???dy??????dy???dy2
??????高阶导数：
（1）高阶导数的运算法则
①?u?v?②?c?u?③?uv??n??n??u?n??v?n??n??n??c??u?0?其中c为常数?1
n?Cnuv?Cnu?n??0??n-1??1?v?...?Cnuv?0??n???Cnu?n-k?v?k?kk?0n（2）【浅谈高阶导数的求法】
高阶导数求法一般包括6种方法，即①根据高阶导数定义求之；②利用高阶导数公式求之；③利用莱布尼茨公式求之；④用复合函数的求导法则求之；⑤用泰勒公式求之；⑥交叉法，等等。
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大学微积分l知识点总结（一）
