七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题09 因式分解及其运用

专题09 因式分解及其运用

专题解读】因式分解是在整式运算的基础上的后续学习内容，因式分解的理论依据就是多项式乘法的“逆”变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义. 思维索引

例1.已知下列等式：（1）32－12＝8，（2）52－32＝16，（3）72－52＝24，… （1）根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立；

（2）利用（1）中发现的规律计算：8＋16＋24＋…＋792＋800.

例2.有若干块长方形和正方形硬纸片如图①所示，用若干块这样的硬纸片可以拼成个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个数学等式，例如图②可以得到（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.小明拼成了如图③的图形，请解答下列问题：

（1）根据图中面积关系，写出图③所表示的数学等式 .

（2）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（5a＋8b）（7a＋4b）长方形，那么他总共需要多少张纸片？

（3）若小明拼成的图③中的大长方形面积为310cm2，其中每块小长方形硬纸片的面积为22cm2，试求该大长方形的周长.

aaaaab图①bbb图②ababb图③ab

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素养提升

1.下列各式从左到右的变形属于因式分解且分解正确的是（ ） A.(x?1)(x?1)?x2?1 B.2x2?y2?(2x?y)(2x?y)

C.a2?2a?1?a(a?2)?1 D.?a2?4a?4??(a?2)2

2.已知x2?kx?15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值有（ ） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个

3.小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册里，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：苏、爱、我、江、游、美，现将a2(x2?y2)?b2(x2?y2)因式分解结果呈现的密码信息可能是（ ） A.我爱美 B.江苏游 C.我爱江苏 D.美我江苏

4.现有一列式子：①552?452；②5552?4452；③55552?44452；…，则第⑧个式子的计算结果用科学计数法可表示为（ ）

A.1.1111111?1016 B.1.1111111?1017 C.1.1111111?1027 D.1.1111111?1056

5.设N＝23x＋92y为完全平方数，且不超过2392，则满足上述条件的一切正数对（x，y）共有（ ） A.13对 B.27对 C.32对 D.36对

6.若x2－5x＋b＝(x－2)(x－a)，则ab的值是 .

7.已知关于x的多项式2x2－11x＋m分解因式后有一个因式是x－3，根据这个条件，则m的值是 .

8.已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，则x2－6xy＋9y2的值是 .

9.分解因式1?x?x(1?x)?x(1?x)2?x(1?x)3，并根据你发现的规律，直接写出多项式

1?x?x(1?x)?x(1?x)2??x(1?x)n?1（n≥2且n为正整数）分解因式的结果是 .

10.设y＝kx，是否存在实数k，使得代数式(x2?y2)(4x2?y2)?3x2(4x2?y2)能化简为x4?若能，则满足条件的k2的值是 .

11.将下列多项式因式分解： （1）3an?2?15an?1?45an； （2）x2?120x?3456；

(x2?4x?6)?4； （3）(x2?4x?2）（4）a4?a2b2?b4.

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12.在因式分解的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对因式分解的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性.根据课堂学习的经验，解决下列问题：

（1）如图①，边长为（k＋3）的正方形纸片，剪去一个边长为k的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这个长方形的面积是 （用含k的式子表示）；

（2）有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（a＜b）的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片，现从其中取出若干张纸片（每种纸片至少取一张），拼成一个正方形（不重叠无缝隙），则所拼成的正方形的边长最长可以为 ；

（3）一个大正方形和4个大小完全相同的小正方形按图②，图③两种方式摆放.求图③中，大正方形中未被4个小正方形覆盖部分的面积（用含m、n的式子表示）.

k3k＋3图 ①m图 ②n图 ③

13.拓展创新：已知a，b，c是△ABC的三边.

（1）若满足，a2＋b2＝10a＋8b－41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围； （2）若a2＋2b2＋c2＝2ab＋2bc，请你判断△ABC的形状？ （3）请你直接说明：（a2＋b2－c2）2－4a2b2＜0.

14.观察阅读：13?23?(1?2)2?9；13?23?33?(1?2?3)2?36；

13?23?33?43?(1?2?3?4)2?100；

（1）请你写出等式的结果：13?23?33?43?53??103＝ ； （2）根据上述规律，猜想下列等式的结果，

13?23?33?43?53??(n?1)3?n3 ＝ ； （3）利用（2）中得到的结论计算： ①33?63?93??573?603； ②13?33?53??(2n?1)3 ()

373?13337?135015.当我们看到下面这个数字算式3＝＝时，大概会觉得算题的人错用了运算法则337?2437?2461a3?b3a?b吧，因为我们知道3≠；但是，如果你动手计算一下，就会发现上式并没有错，不仅如此，我

c?d3c?d33333333?133?15?25?27?37?310?710?7们还可以写出任意多个这种等式：3＝，＝，＝，＝，…

3?237?4103?3310?33?253?335?373?43你能发现以上等式的规律吗？

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专题09因式分解及其运用

思维索引】

例1．(1)(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n； (2)原式＝32－12＋52－32＋72－52＋…＋2012－1992＝40400 例2．(1)(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋5ab＋2b2， (2)那么他总共需要143张纸片．

(3)大长方形的周长＝2(2a＋b＋a＋2b)＝6(a＋b)＝72(cm)． 素养提升】

1．D； 2．A； 3．C； 4．B； 5．B； 6．8； 7．15； 8．121； 9．(1＋x)n； 10．3或5； 11．(1)3a n (a2＋5a－15)； (2)(x－48)(x－72)； (3)(x－2)4； (4)?a2?ab?b2??a2?ab?b2?； 12．(1)长方形的面积是(k＋3) 2－k2＝6k＋9； (2)D； ?m?n??m?n??4(3)未被小正方形覆盖部分的面积＝?????mn；

?2??4?2213．(1)5＜c＜9； (2)等边三角形； (3)略；

1

14．(1)(1＋2＋3＋…＋10)2＝552＝3025； (2)n2(n＋1)2； (3)①1190700； ②2n4－n2；

4

?a?b??a2?ab?b2?a3?b3a?b??15．3；

a?(a?b)3?a??a?b??a2?a?a?b???a?b?2a??a?b???

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