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2013年上海市春季高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分．
1．（3分）（2013?上海）函数y=log2（x+2）的定义域是 （﹣2，+∞） ． 考点： 对数函数的定义域． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 要使函数有意义，只需令x+2＞0即可． 解答： 解：欲使函数有意义，须有x+2＞0，解得x＞﹣2， 所以函数的定义域为（﹣2，+∞）． 故答案为：（﹣2，+∞）． 点评： 本题考查函数定义域的求法，属基础题． 2．（3分）（2013?上海）方程2=8的解是 3 ． 考点： 函数的零点． 专题： 函数的性质及应用． x3分析： 由已知条件2=8=2，可得x=3，由此可得此方程的解． x3解答： 解：由2=8=2，可得x=3，即此方程的解为3， 故答案为 3． 点评： 本题主要考查指数方程的解法，属于基础题． x
3．（3分）（2013?上海）抛物线y=8x的准线方程是 x=﹣2 ． 考点： 抛物线的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 根据抛物线方程的标准形式，可得抛物线以原点为顶点，开口向右，由2p=8算出=2，2
即可得到抛物线的准线方程． 2解答： 解：∵抛物线的方程为y=8x ∴抛物线以原点为顶点，开口向右． 由2p=8，可得=2，可得抛物线的焦点为F（2，0），准线方程为x=﹣2 故答案为：x=﹣2 点评： 本题给出抛物线的标准方程，求抛物线的准线方程，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 4．（3分）（2013?上海）函数y=2sinx的最小正周期是 2π ． 考点： 三角函数的周期性及其求法． 专题： 三角函数的图像与性质． 精品文档
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分析： 根据函数y=2sinωx的最小正周期是 解答： 解：函数y=2sinx的最小正周期是 =，运算可得结果． =2π， 故答案为 2π． 点评： 本题主要考查三角函数的周期性及求法，属于基础题． 5．（3分）（2013?上海）已知向量
． 考点： 平行向量与共线向量． 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可． 解答： 解：由，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣， ，．若，则实数k= 故答案为：． ，则点评： 本题考查向量共线的充要条件，若?x1y2﹣x2y1=0． 6．（3分）（2013?上海）函数y=4sinx+3cosx的最大值是 5 ． 考点： 三角函数的最值． 专题： 三角函数的求值． 分析： 利用辅助角公式把所给的函数解析式化为y=5sin（x+?），再根据正弦函数的值域，求得它的最大值． 解答： 解：∵函数y=4sinx+3cosx=5（sinx+cosx）=5sin（x+?），（其中，cos?=，sin?=）
故函数的最大值为5， 故答案为5． 点评： 本题主要考查辅助角公式的应用，正弦函数的值域，属于中档题． 7．（3分）（2013?上海）复数2+3i（i是虚数单位）的模是 ． 考点： 复数求模． 专题： 计算题． 分析： 利用模长公式|z|=，代入计算即可得出复数2+3i（i是虚数单位）的模． 解答： 解：∵复数2+3i， 精品文档
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∴2+3i的模 =． 故答案为：． 点评： 本题考查复数的概念及模长计算公式，是一道基础题． 8．（3分）（2013?上海）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a=5，c=8，B=60°，则b= 7 ． 考点： 余弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 2222分析： 根据余弦定理b=a+c﹣2accosB，代入题中的数据得b=25+64﹣2×5×8×cos60°=49，解之即可得到b=7． 解答： 解：∵在△ABC中，a=5，c=8，B=60°， ∴根据余弦定理，得 222b=a+c﹣2accosB=25+64﹣2×5×8×cos60°=49 解之得b=7（舍负） 故答案为：7 点评： 本题给出△ABC两条边长及其夹角大小，求第三边的长度．着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题． 9．（3分）（2013?上海）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为 60° ．
考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 计算题． 分析： 连接A1D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，连接BD后，解三角形BA1D即可得到异面直线A1B与B1C所成的角． 解答： 解：连接A1D，由正方体的几何特征可得：A1D∥B1C， 则∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角， 连接BD，易得： BD=A1D=A1B 故∠BA1D=60° 故答案为：60° 点评： 本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判断出∠BA1D即为异面直线A1B与B1C所成的角，是解答本题的关键． 精品文档
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10．（3分）（2013?上海）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为
（结果用数值表示）．
考点： 古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计． 分析： 先求对立事件“选出的3人中只有男同学或只有女同学”的概率，然后根据对立事件的概率和为1可得答案． 解答： 解：从10人中选出的3人中只有男同学或只有女同学的概率为：=， 则选出的3人中男女同学都有的概率为：1﹣=． 故答案为：． 点评： 本题考查古典概型及其概率计算公式，属基础题． 11．（3分）（2013?上海）若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn= ．
考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 2设等差数列的前n项和Sn=an+bn，则由题意可得 ，解得a、b的值，即可求得数列的前n项和Sn的解析式． 解答： 解：设等差数列的前n项和Sn=an+bn，则由题意可得 2，解得 ， 故数列的前n项和Sn=故答案为 ． ， 点评： 本题主要考查等差数列的前n项和公式的结构特征，用待定系数法函数的解析式，属于基础题． 12．（3分）（2013?上海）36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2×3，所以36
22222222
的所有正约数之和为（1+3+3）+（2+2×3+2×3）+（2+2×3+2×3）=（1+2+2）（1+3+3）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 4836 ． 考点： 类比推理． 专题： 压轴题；规律型． 分析： 这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，2000的所有正约数之和可22
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按如下方法得到：因为2000=2×5，所以2000的所有正约数之和为（1+2+2+2+2）23（1+5+5+5），即可得出答案． 解答： 解：类比36的所有正约数之和的方法，有： 432000的所有正约数之和可按如下方法得到：因为2000=2×5， 23423所以2000的所有正约数之和为（1+2+2+2+2）（1+5+5+5）=4836． 可求得2000的所有正约数之和为 4836． 故答案为：4836． 点评： 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分． 13．（3分）（2013?上海）展开式为ad﹣bc的行列式是（ ） A．B． C． D． 考点： 二阶行列式与逆矩阵． 专题： 计算题． 分析： 根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，再根据所给的式子即可得出答案． 43234解答： 解：根据由题意得，叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc， =ad﹣bc． 故选B． 点评： 本题考查的是二阶行列式与逆矩阵，根据题意二阶行列式的意义得出所求代数式是解答此题的关键． 14．（3分）（2013?上海）设f（x）为函数f（x）=的反函数，下列结论正确的是（ ） ﹣1﹣1﹣1﹣1 A．B． C． D． f（2）=2 f（2）=4 f（4）=2 f（4）=4 考点： 反函数． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 本题的关键是求函数f（x）=的反函数，欲求原函数的反函数，即从原函数式f（x）=中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式． ﹣1 解：∵f（x）为函数f（x）=的反函数， 解答： ﹣1
∴f（x）=x，（x≥0）， ﹣1﹣1∴f（2）=4，f（4）=16， 故选B． 精品文档
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