空间位置关系的判断与证明.
复习题
典例分析
板块一.对平面的进一步认识
【例1】 判断下面说法是否正确：
①如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面． ②经过一点的两条直线确定一个平面． ③经过空间任意三点有且只有一个平面．
④若四边形的两条对角线相交于一点，则该四边形是平面图形． ⑤两个平面的公共点的集合，可能是一条线段． ⑥空间中的四个点只可能确定一个平面或四个平面．
【难度】★★ 【解析】 ①错误，如果这三条直线交于一点，比如过正方体同一顶点的三条棱就无法确定一
个平面；
②正确，两条相交直线确定一个平面；
③错误，必须是不共线的三点，如果是共线三点，则有无数个平面；
④正确，两条相交的对角线确定一个平面，四个顶点都在这个平面内，故是平面图形；
⑤错误，两个平面若相交，公共点必是一条直线；
⑥错误；若四点共线，则可以有无穷多个平面过这四点，若是对不共线的四点，该命题正确．
【例2】 在棱长为2的正方体ABCD?A'B'C'D'中，E,F分别是 AB,CC'的中点，过点
E,F,D' 的截面与正方体的下底面相交于直线l，
①请画出直线l的位置；
②设lBC?G，求BG的长．
【难度】★★★
D'A'B'FC'DBC
【解析】 ①延长D'F交DC的延长线于M，连结EM，
如图所示，直线EM即为所求的截面与底面的交线．
AE高中数学.空间位置关系的判断与证明.复习题 1
D'A'B'C'FDGAEBCM②因为F为CC'的中点，故CM?DC，
BGEB1又E点为AB的中点，故??，
GCMC212故BG?BC?．
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【例3】 如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面． 【难度】★★ 【解析】 要证明这种文字类的题，首先要把已知与求证的内容用具体的符号语言表述出来．
labcCBA已知：a//b//c，la?A,lb?B,lc?C，
求证：直线a,b,c,l共面．
证明：a//b?a,b确定一个平面?，b//c?b,c确定一个平面?， A?a?A????B?b?B????l??，同理有l??，
?A?l,B?l?
又bl?B?b,l确定一个平面．
而b,l既在平面?内，又在平面?内，故?，?是同一个平面， 所以这四条直线a,b,c,l共面．
【例4】 任给三个平面，可能把空间划分成几个部分？ 【难度】 ★★★
【解析】⑴ 当三个平面互相平行时，把空间分成四个部分；
⑵ 当其中两个平面互相平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六个部分； ⑶ 当三个平面都相交，且交线重合时，也将空间分成六个部分；
⑷ 当三个平面都相交，且交线共点但不重合时，将空间分成八个部分； ⑸ 当三个平面两两相交，且交线平行时，将空间分成七个部分． 这几种情况分别如下图：
高中数学.空间位置关系的判断与证明.复习题 2
???（1）（2）??????（3）?????（4）（5）l?
【例5】 把正方体的各个面伸展成平面，则把空间分为（ ）
A．13部分 B．19部分 C．21部分 D．27部分
【难度】 ★★★ 【解析】Ｄ
【例6】 如图所示，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长为1，高为1，过A1A，A1B1和AC的中点E，F，G画截面．
HC1A1QB1GEFAMCPB
【难度】 ★★★ 【解析】 ∵E，G?平面BA1，∴连结EG并延长交BB1的延长线于H．
∵E，F?平面A1ACC1，∴连结EF并延长交C1C的延长线于M， 又∵M，H?平面BB1C1C，∴连结MH交BC于P，交B1C1于Q，
∴?EMH所在平面为切割平面
∴连结Q，G，F，P即得切割平面与正三棱柱表面的交线， ∴五边形EFPQG就是所求的截面．
【例7】 （2008新课标海南宁夏）
已知平面??平面?，???l，点A??，A?l，直线AB∥l，直线AC?l，直线m∥?，m∥?，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） ．．．
A．AB∥m
B．AC?m
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高中数学.空间位置关系的判断与证明.复习题
空间位置关系的判断与证明.复习题-教师版
