掉分式方程的检验．
22．（9分）已知，如图（1），PAB为⊙O的割线，直线PC与⊙O有公共点C，且PC2=PA×PB，
（1）求证：?∠PCA=∠PBC；??直线PC是⊙O的切线；
（2）如图（2），作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，若AD=2，BC=6，求⊙O的半径；
（3）如图（3），若⊙O的半径为否存在一点Q，使得PQ+在
，
，PO=
，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是
QM有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存
说
明
理
由．
【分析】（1）??根据已知条件得到
，推出△PCA∽△PBC，根据相似三角
形的性质得到∠PCA=∠PBC，作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°，得到∠PCA+∠FCA=90°，P过直径的一端点C，于是得到结论；
?（2）作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°，推出AE∥CD，得到根据勾股定理得到BE=2
，于是得到结论；
=
，
（3）取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q，连接QO、QM，得到OG=OM=1，根据相似三角形的性质得到根据两点之间线段最短，即可得到结论． 【解答】（1）??证明：∵PC2=PA×PB， ∴
，
=
，求得QG=
QM，
∵∠CPA=∠BPC， ∴△PCA∽△PBC，
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∴∠PCA=∠PBC，
作直径CF，连接AF，则∠CAF=90°， ∴∠F+∠FCA=90°，
∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC， ∴∠PCA+∠FCA=90°， ∵PC经过直径的一端点C， ∴直线PC是⊙O的切线；
?（2）解：作直径BE，连接CE、AE．则∠BCE=∠BAE=90°， ∵CD⊥AB， ∴AE∥CD， ∴
=
，
∴AD=CE=2， ∵BC=6，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得： BE2=CE2+BC2=22+62=40， ∴BE=2∴R=
， ；
（3）解：取OM中点G，连接PG与⊙O的交点就是符合条件的点Q， 连接QO、QM， ∵MO=2， ∴OG=OM=1， ∵⊙O的半径r=OQ=∴OQ2=OG?OM， ∵∠MOQ=∠QOG， ∴△MOQ∽△QOG， ∴
=
，
，
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∴QG=∴PQ+
QM，
QM=PQ+QG=PG，
根据两点之间线段最短， 此时PQ+∴PQ+
QM=PQ+QG=PG最小， QM最小值为PG=
=
=
．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于A、B（A点在B点的左侧）与y轴交于点C．
（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；
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（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点且在直线BC下方，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4线于点Q，求PQ的长．
a，连接KB并延长交抛物
【分析】（1）通过解方程ax2﹣5ax+4a=0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面积公式求出OC得到C点坐标，再把C点坐标代入y=ax2﹣5ax+4a中求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD=﹣ax2+5ax，通过证明Rt△PCD∽Rt△CBO，利用相似比可得到（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，然后解方程求出x即可得到点P的横坐标；
（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，先证明∠HAP=∠KPA得到HA=HP，由于P（6，10a），则可得到﹣10a=6﹣1，解得a=﹣，再判断Rt△PFG单位等腰直角三角形得到FG=PG=
PF=2，接着证明△AKH≌△KFG，得到KH=FG=2，则K（6，
2），然后利用待定系数法求出直线KB的解析式为y=x﹣4，再通过解方程组
得到Q（﹣1，﹣5），利用P、Q点的坐标可判断PQ∥x 轴，于
是可得到QP=7．
【解答】解：（1）当y=0时，ax2﹣5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0）， ∴AB=3，
∵△ABC的面积为3，
∴?3?OC=3，解得OC=2，则C（0，﹣2），
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把C（0，﹣2）代入y=ax2﹣5ax+4a得4a=﹣2，解得a=﹣， ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD=4a﹣（ax2﹣5ax+4a）=﹣ax2+5ax， ∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠BCD， ∵∠BCP=2∠ABC， ∴∠PCD=∠ABC， ∴Rt△PCD∽Rt△CBO， ∴PD：OC=CD：OB，
即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，解得x1=0，x2=6， ∴点P的横坐标为6；
（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3， ∵AK=FK， ∴∠KAF=∠KFA，
而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF， ∵∠KAH=∠FKP， ∴∠HAP=∠KPA， ∴HA=HP，
∴△AHP为等腰直角三角形， ∵P（6，10a），
∴﹣10a=6﹣1，解得a=﹣， 在Rt△PFG中，∵PF=﹣4∴FG=PG=
PF=2，
a=2
，∠FPG=45°，
在△AKH和△KFG中
，
∴△AKH≌△KFG，
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2017年广东省深圳市南山区十校联考中考数学一模试卷
