第6讲
一、选择题
几何概型
)
1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为(A.45
B.35
2C.5
D.15
解析在区间[－2，3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的3概率为P＝.5答案B
2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中1随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面3积是(A.π3
)
B.π
C.2π
D.3π
解析
设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概
S1率，得＝，则S＝3π.
S′3答案D
3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log1”发生的概率为(A.34
B.)23
1C.3
1112≤1，得≤x＋≤2，
22
D.14
12x＋12≤解析由－1≤log
12
x＋1x＋3解得0≤x≤，所以事件“－1≤log2≤1”发生的
2
1233概率为2＝，故选A.
24
答案A
4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是(
)
A.
π2
B.
π4πC.6
D.
π8
阴影面积
＝
长方形面积
解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝
1
π×12π2＝.
41×2答案B
5.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为(A.π
12
)
B.1－
π12
πC.6
D.1－
π6
解析设“点P到点O的距离大于1”为事件A.
则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部.412
∴V正方体＝23＝8，V半球＝π·13×＝π.
3232
23－π
3＝1－π.∴P(A)＝
1223答案B
6.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为(A.1
6
B.13
)1C.2
D.23
解析如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段
BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4
时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形.所以△ABD为钝角三角形的概率为答案C7.设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则
)
D.4－π4
1＋21＝.26
此点到坐标原点的距离大于2的概率是(A.π
4
B.π－22
πC.6
解析如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因4－π此满足条件的概率是.故选D.
4答案D
8.(2017·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为(A.14
)
B.316
9C.16
D.34
解析由x，y∈[0，4]知(x，y)构成的区域是边长为4的
正方形及其内部，其中满足x＋2y≤8的区域为如图所示的阴影部分.
易知A(4，2)，S正方形＝16，
S阴影3（2＋4）×4
S阴影＝＝12.故“使得x＋2y≤8”的概率P＝＝.2S正方形4答案D
9.已知正三棱锥S－ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，1使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是(
2A.78
B.34
)1C.2
D.14
3解析当点P到底面ABC的距离小于时，2
1VP－ABC＜VS－ABC.
2
137由几何概型知，所求概率为P＝1－2＝.8答案A
10.设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为(31A.＋π42解析
11B.＋2π
11C.－2π
11D.－42π
)
因为复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)且|z|≤1，所以|z|＝
（x－1）2＋y2≤1，即(x－1)2＋y2≤1，
即点(x，y)在以(1，0)为圆心、1为半径的圆及其内部，而y≥x
表示直线y＝x左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆11·π·12－×1×1112的面积之比，即P＝4＝－.42ππ·12答案D二、填空题
511.在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝
6________.解析
由|x|≤m，得－m≤x≤m.
2m5＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去.66
m－（－2）5＝，解得m＝3.66
当m≤2时，由题意得
当2＜m＜4时，由题意得答案
3
12.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A－A1BD内的概率为________.解析
1因为VA－A1BD＝VA1－ABD＝AA1×S△ABD3
VA－A1BD111＝×AA1×S矩形ABCD＝V长方体，故所求概率为＝.666V长方体
答案
16
13.(2016·山东卷)在[－1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交”发生的概率为________.解析
直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交的充要条件是圆心(5，0)到直线y＝
kx的距离小于3.
33－－4|5k－0|333
则＜3，解之得－＜k＜，故所求事件的概率P＝4＝.
44k2＋11－（－1）4答案
3
4
14.(2017·唐山模拟)如图，将半径为1的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为________.解析
顺次连接星形的四个顶点，则星形区域的面积等于
11221×π×－×1
(2)2－44＝4－π，又因为圆的面积等于π×12＝π，因此所24－π4求的概率等于＝－1.
ππ答案
4
－1π
)35
1
15.在区间[－1，4]内取一个数x，则2x－x2≥的概率是(
4A.12
B.13
2C.5
D.
1
解析由2x－x2≥，得－1≤x≤2.又－1≤x≤4.
4∴所求事件的概率P＝答案D
16.如图，“天宫一号”运行的轨迹是如图的两个类同心圆，小圆的半径为2km，大圆的半径为4km，卫星P在圆环内无规则地自由运动，运行过程中，则点P与点O的距离小于3km的
2－（－1）3
＝.
4－（－1）5
2024高考数学(理)一轮复习题库《第11章 第6讲 几何概型》
