湖南省怀化市2019-2020学年高二数学上学期学业水平测试模拟试
题
时间：90分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．
1.已知集合A＝{－1，0，1，2}，B＝{－2，1，2}，则A∩B＝( ) A.{1} B.{2} C.{1，2} D.{－2，0，1，2} →→
2.在△ABC中，D为BC的中点，则AB＋AC＝( ) →→→→A.BC B. CB C.AD D．2AD 3.下列函数中，在其定义域上为减函数的是( ) 1 32
A．y＝－x B．y＝x C．y＝x D．y＝log2x
24.函数f(x)＝3－x的零点所在的区间是( )
A．(0,1) B．(－2，－1) C．(1,2) D．(－1,0)
5. 已知直线l过点（0，7），且与直线y??4x?2平行，则直线l的方程为（ ）. A. y??4x?7 B. y?4x?7 C. y??4x?7 D. y?4x?7 6.在△ABC中，若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于( ) A.6 B．2 C.3 D.2
7.在空间坐标系，若A(1，2，3)，B(3，4，m)，|AB|＝23，则实数m为( ) A．1 B．3 C．1或5 D．3或5
8.右图是中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4.84 π
9.函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的图象如右图所示，则ω、φ的
2值分别是( )
ππππA. 1， B．1，－ C．2， D．2，－
333310.一个几何体三视图如图所示(cm)，此几何体表面积是( ) A．(20＋42)cm B．21 cm C．(24＋42) cm D．24 cm
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
2
2
2
2
x2
?x2?x(x?0)11. 已知函数f(x)??，则f(2)? .
?x?1(x?0)12.若正实数a、b满足a＋b＝2，则ab的最大值为 .
13.已知数列{an}是等差数列，a4＝7，则{an}的前7项和S7＝ ..
14.我市某旅行社拟组团参加衡山文化一日游，预测每天游客人数在50至130人之间，游客人数x(人)与游客的消费总额y(元)之间近似地满足关系：
y＝－x2＋240x－10000.那么游客的人均消费额最高为 .元．
15.已知：定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值是 .
三、解答题：共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题满分6分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，S5＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，Sn取得最大值．
17.(本小题满分8分) 某班共有学生45人，其中女生18人，现用分层抽样的方法，从男、女学生中各抽取若干学生进行演讲比赛，有关数据见下表(单位：人)
性别 女生 男生 (1)求x和y；
(2)若从抽取的学生中再选2人做专题演讲，求这2人都是男生的概率．
18.(本小题满分8分)已知函数f(x)＝sinx＋sin xcos x 2π2π
(1)求f()＋f(－)的值；
33
(2)求f(x)的最大值及取得最大值时对应的x的值．
2
学生人数 18 抽取人数 y 3 x
19.(本小题满分8分) 如图,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
PA?底面ABCD,且PA=AB. （1）求证：BD?平面PAC；
（2）求异面直线BC与PD所成的角.
20.(本小题满分10分)已知圆C：x＋y＋2x－3＝0。 (1)求圆的圆心C的坐标和半径长；
(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，求证：
11为定值； ?x1x22
2
(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大。
答案
一、选择题（每小题4分，共40分） 题号 1 答案 C 2 D 3 A 4 D 5 C 6 D 7 C 8 C 9 C 10 A
二、填空题（每小题4分，共20分）
11：2 12： 1 13：49 14： 40 15： 0
三、解答题
16.(本小题满分6分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝2，S5＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，Sn取得最大值．
a1＋d＝2??
解(1)因为a2＝2，S5＝0，所以?5×4d5a＝01＋?2?
.解得a1＝4，d＝－2.
所以an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n. …………………………4分
nn－1d52252
(2)Sn＝na1＋＝4n－n(n－1)＝－n＋5n＝－(n－)＋. 224
*
因为n∈N，所以当n＝2或n＝3时，Sn取得最大值6. ……………………8分
17.(本小题满分8分) 某班共有学生45人，其中女生18人，现用分层抽样的方法，从男、女学生中各抽取若干学生进行演讲比赛，有关数据见下表(单位：人)
性别 女生 男生 (1)求x和y；
(2)若从抽取的学生中再选2人做专题演讲，求这2人都是男生的概率．
学生人数 18 抽取人数 y 3 x y3
解( (1)由题意可得，x＝45－18＝27，又＝，所以y＝2；……………4分
1827
(2)记从女生中抽取的2人为a1，a2，从男生中抽取的3人为b1，b2，b3， 则从抽取的5人中再选2人做专题演讲的基本事件有 (a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，
(a2，b2)，(a2，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共10种． 设选中的2人都是男生的事件为A，
3
则A包含的基本事件有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共3种．因此P(A)＝.
10
3
故2人都是男生的概率为.………………………………………8分
10
18.(本小题满分8分)已知函数f(x)＝sinx＋sin xcos x 2π2π
(1)求f()＋f(－)的值；
33
(2)求f(x)的最大值及取得最大值时对应的x的值．
2π2π
解(1)将x =代入 f(x)， 将x =－代入 f(x)；
332π2π3
可得 f()＋f(－) =；………………………………………3分
3321－cos 2x111
(2)f(x)＝＋sin 2x＝(sin 2x－cos 2x)＋，
22222π12＋1sin(2x－)＋，f(x)max＝.……………………………6分 2422ππ
此时，2x－＝2kπ＋(k∈Z)，
423π
即x＝kπ＋(k∈Z)．……………………………8分
8
P 故f(x)＝19.(本小题满分8分) 如图,在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD是正方形，PA?底面ABCD,且PA=AB. （1）求证：BD?平面PAC；
（2）求异面直线BC与PD所成的角.
证明：∵PA?平面ABCD，BD?平面ABCD，
BACD2
?PA?BD，……………………1分
又ABCD为正方形，?BD?AC，…………………………………2分
而PA,AC两条相交直线，?BD?平面PAC…………………………………4分 (2)解： ∵ABCD为正方形，?BC∥AD，
??PDA为异面直线BC与AD所成角……………………………6分
由已知可知，△PDA为直角三角形，又PA?AB，∵PA?AD， ??PDA?45?， ?异面直线BC与AD所成的角为45o.…………………………8分
20.(本小题满分10分)已知圆C：x＋y＋2x－3＝0。 (1)求圆的圆心C的坐标和半径长；
(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，求证：
11为定值； ?x1x22
2
(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大。
22
解：(1)配方得(x＋1)＋y＝4，则圆心C的坐标为(－1，0)， 圆的半径长为2……………………2分 (2)设直线l的方程为y＝kx，
?x2?y2?2x?3?022
联立方程组?消去y得(1＋k)x＋2x－3＝0…………3分，
?y?kx则有：x1?x2??所以
23……………………4分 ,xx??121?k21?k2x?x2211??1?为定值…………5分 x1x2x1x23(3)解法一 设直线m的方程为y＝x＋b，则圆心C到直线m的距离d?|b?1|2，
所以|DE|?2R2?d2?24?d2…………………………………7分，
S?CDE(4?d2)?d212?2， ?|DE|?d?4?d?d≤
22当且仅当d?4?d2，即d?2时，△CDE的面积最大 从而
|b?1|2故所求直线方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0………………………………10分
解法二 由(1)知|CD|＝|CE|＝R＝2，
所以S?CDE??2，解之得b＝3或b＝－1，………………………9分
1|CD|?|CE|?sin?DCE?2sin?DCE≤2， 2当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时|DE|?22…………………7分 设直线m的方程为y＝x＋b，则圆心C到直线m的距离d?由|DE|?2R2?d2?24?d2?22，得d?2， 由
|b?1|2 …………8分
|b?1|2故所求直线方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0………………………10分
?2，得b＝3或b＝－1，…………………9分
湖南省怀化市2019 - 2020学年高二数学上学期学业水平测试模拟试题
