是斜率k＝20的一段直线［图(c)］．
1 -8 已知质点的运动方程为r?2ti?(2?t)j,式中r 的单位为m,t 的单位为ｓ．求：
(1) 质点的运动轨迹；
(2) t ＝0 及t ＝2ｓ时,质点的位矢；
(3) 由t ＝0 到t ＝2ｓ内质点的位移Δr 和径向增量Δr；
*
2(4) 2 ｓ 内质点所走过的路程s．
分析 质点的轨迹方程为y ＝f(x),可由运动方程的两个分量式x(t)和
y(t)中消去t 即可得到．对于r、Δr、Δr、Δs 来说,物理含义不同,可根
据其定义计算．其中对s的求解用到积分方法,先在轨迹上任取一段微元ds,则ds?(dx)2?(dy)2,最后用s??ds积分求ｓ．
y?2?12x 4解 (1) 由x(t)和y(t)中消去t 后得质点轨迹方程为
这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示．
(2) 将t ＝0ｓ和t ＝2ｓ分别代入运动方程,可得相应位矢分别为
r0?2j , r2?4i?2j
图(a)中的P、Q 两点,即为t ＝0ｓ和t ＝2ｓ时质点所在位置． (3) 由位移表达式,得
Δr?r2?r1?(x2?x0)i?(y2?y0)j?4i?2j
其中位移大小Δr?(Δx)2?(Δy)2?5.66m
2222x2?y2?x0?y0?2.47m
而径向增量Δr?Δr?r2?r0?*(4) 如图(B)所示,所求Δs 即为图中PQ段长度,先在其间任意处取AB 微元ds,则ds?2ｓ内路程为
1(dx)2?(dy)2,由轨道方程可得dy??xdx,代入ds,则
2s??ds??PQ404?x2dx?5.91m
1 -9 质点的运动方程为
x??10t?30t2 y?15t?20t2
式中x,y 的单位为m,t 的单位为ｓ．
试求：(1) 初速度的大小和方向；(2) 加速度的大小和方向． 分析 由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向．
解 (1) 速度的分量式为
vx?dx??10?60t dtdyvy??15?40t
dt-1
-1
当t ＝0 时, vox ＝-10 m·ｓ , voy ＝15 m·ｓ ,则初速度大小为
v0?v0x?v0y?18.0m?s?1
设vo与x 轴的夹角为α,则
22tanα?v0yv0x3??
2α＝123°41′
(2) 加速度的分量式为
ax?dvdvx?60m?s?2 , ay?y??40m?s?2
dtdt则加速度的大小为
a?ax?ay?72.1m?s?2
设a 与x 轴的夹角为β,则
22tanβ?ay2?? ax3β＝-33°41′(或326°19′)
1 -10 一升降机以加速度 m·ｓ上升,当上升速度为 m·ｓ时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距 m．计算：(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间；(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离．
分析 在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1 ＝y1(t)和
-2-1
y2 ＝y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解；另一种方法
是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度．升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程．
解1 (1) 以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为
1y1?v0t?at2
21y2?h?v0t?gt2
2当螺丝落至底面时,有y1 ＝y2 ,即
11v0t?at2?h?v0t?gt2
22t?2h?0.705s g?a (2) 螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为
1d?h?y2??v0t?gt2?0.716m
2解2 (1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a′＝g ＋
a,螺丝落至底面时,有
10?h?(g?a)t2
2t?2h?0.705s g?a(2) 由于升降机在t 时间内上升的高度为
1h??v0t?at2
2则 d?h?h??0.716m
1 -11 一质点P 沿半径R ＝ m的圆周作匀速率运动,运动一周所需时间为ｓ,设t ＝0 时,质点位于O 点．按(a)图中所示Oxy 坐标系,求(1) 质点P 在任意时刻的位矢；(2)5ｓ时的速度和加速度．
分析 该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r ＝r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度)．在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的O′x′y′坐标系,并采用参数方程x′＝x′(t)和
y′＝y′(t)来表示圆周运动是比较方便的．然后,运用坐标变换x ＝x0 ＋x′和y ＝y0 ＋y′,将所得参数方程转换至Oxy 坐标系中,即得Oxy 坐标系
中质点P 在任意时刻的位矢．采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度．
解 (1) 如图(B)所示,在O′x′y′坐标系中,因θ?参数方程为
2πt,则质点P 的Tx??Rsin坐标变换后,在Oxy 坐标系中有
2π2πt, y???Rcost TTx?x??Rsin则质点P 的位矢方程为
2π2πt, y?y??y0??Rcost?R TT2π2π??ti???Rcost?R?jTT??r?Rsin?3sin(0.1πt)i?3[1?cos(0.1πt)]j
(2) 5ｓ时的速度和加速度分别为
v?dr2π2π2π2π?Rcosti?Rsintj?(0.3πm?s?1)jdtTTTT
d2r2π2π2π2πa?2??R()2sinti?R()2costj?(?0.03π2m?s?2)idtTTTT1 -12 地面上垂直竖立一高 m 的旗杆,已知正午时分太阳在旗杆的正上方,求在下午2∶00 时,杆顶在地面上的影子的速度的大小．在何时刻杆影伸展至 m？
分析 为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程．根据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得．由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度．这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得．
解 设太阳光线对地转动的角速度为ω,从正午时分开始计时,则杆的影长为s＝htgωt,下午2∶00 时,杆顶在地面上影子的速度大小为
v?dshω?3?1 ??1.94?10m?s2dtcosωt1sπarctan??3?60?60s ωh4ω2
-2
当杆长等于影长时,即s ＝h,则
t?即为下午3∶00 时．
1 -13 质点沿直线运动,加速度a＝4 -t ,式中a的单位为m·ｓ ,t的单位为ｓ．如果当t ＝3ｓ时,x＝9 m,v ＝2 m·ｓ ,求质点的运动方程．
分析 本题属于运动学第二类问题,即已知加速度求速度和运动方程,必须在给定条件下用积分方法解决．由a?-1
dvdx和v?可得dv?adt和dtdtdx?vdt．如a＝a(t)或v ＝v(t),则可两边直接积分．如果a 或v不是时间
t 的显函数,则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再做积分．
解 由分析知,应有
?vv0dv??adt
0t
马文蔚 - 物理学 - 第五版上册带原题 - 答案
