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第二章 2．1 指数函数
素养培优提能
一、选择题
1．已知a＝0.860.75，b＝0.860.85，c＝1.30.86，则a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c C．c>b>a
B．b>a>c D．c>a>b
解析：选D ∵函数y＝0.86x在R上是减函数， ∴0<0.860.85<0.860.75<1.又1.30.86>1，∴c>a>b.故选D．
?b?x
2．在下列图象中，二次函数y＝ax＋bx及指数函数y＝?a?的图象只可能是
??
2
( )
b
解析：选A 根据指数函数可知a，b同号且不相等，∴－2a<0，可排除B、b?b?
D；由选项C中的二次函数的图象，可知a－b>0，a<0，∴a>1，∴指数函数y＝?a?
??
x
单调递增，故C不正确，排除C．故选A．
?a，a≤b，
3．定义运算*：a*b＝?如1*2＝1，则函数f(x)＝|2x*2－x－1|的值域
?b，a>b，
为( )
A．[0，1]
B．[0，1)
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C．[0，＋∞) D．[1，＋∞)
x
解析：选B 新定义函数的运算结果是取a，b中的较小值，则2
|x|
?*2－x＝?
1???2?
∈(0，1]，所以f(x)＝|2
x
??
*2－x－1|＝??
1?|x|?
?－1?∈[0，1)．故选B． ??2??
4．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( )
A．na(1－b%) 万元 C．a[1－(b%)n] 万元
B．a(1－nb%) 万元 D．a(1－b%)n万元
解析：选D 1年后价值为a(1－b%)万元，2年后价值为a(1－b%)2万元，…，n年后价值为a(1－b%)n万元，故选D．
?f（x），f（x）≤k，
5．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝?若对于函数f(x)
k，f（x）>k.?
－x2＋x＋2
＝2
的定义域内的任意实数x，恒有fk(x)＝f(x)，则( )
A．k的最大值为22 C．k的最大值为1
B．k的最小值为22 D．k的最小值为1
－x2＋x＋2
解析：选B 由题意，知k≥f(x)max.函数f(x)＝2t＝的定义域为[－1，2]．令
3??
－x2＋x＋2，则t∈?0，2?，2t∈[1，22]，所以f(x)max＝22，因此k≥22.
??
故选B．
二、填空题
?1?x－3
6．满足?4?>16的x的取值范围是________．
??
?1?x－3?1?x－3?1?－2
解析：?4?>16，即?4?>?4?，由指数函数的单调性，得x－3<－2，即
??????x<1.
答案：(－∞，1)
7．(2019·福建师大附中期末)设函数f(x)＝2x，对任意的x1，x2(x1≠x2)，以下结论正确的是________(填序号)．
①f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
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②f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)； ③f(－x1)＝④
1
；
f（x1）
f（x1）－1
<0(x1≠0)； x1
f（x1）＋f（x2）?x1＋x2?
?. ⑤>f?
2?2?
解析：2x1·x2＝(2x1)x2≠2x1＋2x2，①错误；根据指数式的运算性质可知同底数幂1
相乘，底数不变，指数相加，知②正确；根据2－x＝2x，知③正确；当x>0时，f（x1）－1
f(x)>1，当x<0时，0
x1的图象是下凸的，结合图象可以判定两个自变量对应的函数值的平均值大于这两个自变量的平均值所对应的函数值，故⑤正确．综上，填②③⑤.
答案：②③⑤
?1?a?1?b
8．已知实数a，b满足等式?2?＝?3?，给出下列五个关系式：①0 ????②a ?1?x?1?x 解析：画出函数y＝?2?和y＝?3?的图象，如图所示，借助图象进行分析． ???? ?1?a?1?b 由于实数a，b满足等式?2?＝?3?，所以若a，b均为正数，则a>b>0；若a， ?????1?a?1?b b均为负数，则a ???? 答案：③④ 三、解答题 ruize 9．已知f(x)＝ a－xx (a－a)(a>0且a≠1)． a2－1 (1)判断f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性． 解：(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝ a (a－x－ax)＝－f(x)， 2 a－1 所以f(x)为奇函数． (2)当a>1时，a2－1>0，y＝ax为增函数，y＝a－x为减函数， 从而y＝ax－a－x为增函数，所以f(x)为增函数． 当0 (2)若方程g(x)－b＝0在[－2，2]内有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18， ∴3a＋2＝18，∴3a＝2. ∵g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x， ∴g(x)＝2x－4x. (2)解法一：由(1)知，方程为2x－4x－b＝0. 1 令t＝2x，x∈[－2，2]，则4≤t≤4， ?1? 且方程t－t－b＝0在?4，4?上有两个不相等的实数根， ?? 2 ?1?21?1? 即函数y＝t－t＝－?t－2?＋4的图象与函数y＝b的图象在?4，4?上有两个 ???? 2 交点． 作出大致图象，如图所示： ruize ?31?由图知当b∈?16，4?时，方程g(x)－b＝0在[－2，2]内有两个不相等的实数 ??根． ?31?故实数b的取值范围为?16，4?. ??解法二：由(1)知方程为2x－4x－b＝0. 1?1?2 令t＝2，x∈[－2，2]，则4≤t≤4，且方程t－t－b＝0在?4，4?上有两个不 ?? x 相等的实数根， ?1? 令h(t)＝－t2＋t－b，t∈?4，4?， ??Δ＝1－4b>0， ???1?31则?h?4?≤0，解得16≤b<4. ????h（4）≤0，?31?故实数b的取值范围为?16，4?. ??
高中数学：第二章 2.1.2 指数函数及其性质 (11)
