微专题11 圆锥曲线中的最值、范围及探索性问题-2020高考数学(理)孝感一中二轮复习微专题

2020高考数学（理）三轮复习微专题——

微专题11 圆锥曲线中的最值、范围及探索性问题

【考情分析】与圆锥曲线有关的最值、范围及存在性问题是高考命题的热点，直线或圆锥曲线运动变化时，点、直线、曲线之间的关联受到一定范围的制约，于是便产生了对范围的求解、最值的探求这类问题，注重与平面向量、函数、二次方程、不等式等融合与渗透，因而这类问题考查范围广泛，命题形式新颖，属于解析几何中的压轴题。 考点一 圆锥曲线中的最值或取值范围问题

【例1】过F(0,1)的直线l与抛物线C:x2?4y交于A，B两点，以A，B两点为切点分别作抛物线C的切线l1,l2，设l1与l2交于点Q(x0,y0). （1）求y0；

（2）过Q，F的直线交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN面积的最小值. 【解析】（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l:y?kx?1，

?x2?4y?x?x?4k所以?得x2?4kx?4?0，所以?12

xx??4?12?y?kx?1由x2?4y?y??x，所以l1：y?y1?x1?x?x1?，

x121即l1：y?x1x?，

24x1?x2?x??2k0?x21?2同理l2：y?x2x?，联立得?，

xx24?y?12??10??421212即y0??1． （2）因为QF???x1?x2?,?2?，AB??x2?x1,y2?y1?， ?2?

x22?x12x22?x12x22?x12所以QF?AB??2?y2?y1????0，

222所以QF?AB，即MN?AB，

AB?y1?y2?2?k?x1?x2??4?4k2?4，

同理MN?4?4， k2SAMBN?11?1???ABMN?8?k2?1??2?1??8?k2?2?2??32， 2k?k???当且仅当k=?1时，四边形AMBN面积的最小值为32.

【方法归纳 提炼素养】求最值,取值范围的常用方法

(1)利用函数单调性:求导,换元,变形等.

(2)利用不等式:基本不等式(有一个或两个变量都可以),三角不等式等. (3)利用线性规划:条件是不等式组的题目,可考虑用线性规划法. (4)利用数形结合:将代数方程与它表示的几何图形联系起来.

(5)利用转化与化归:将几何关系转化为代数式,再求解;或将不等式问题转化为等式问题,即先找到所求不等式恰好相等时的“边界”,“边界”将实数R分为若干部分,其中符合题意的部分即为所求取值范围.

注意:在圆锥曲线最值问题中,特别注意椭圆、双曲线、抛物线上的点(x,y)横纵坐标x,y的取值范围.

x2y2【例2】已知椭圆2?2?1(a?b?0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.

ab(1)若e?3,求椭圆的方程. 2

(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点.若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且

23?e?≤,求k的取值范围. 22?c?3?2

【解析】(1)由已知?c3，得a?23即a=12,

??2?a又a2=b2+c2,解得b2=3.

x2y2

所以椭圆的方程为+=1.

123

?x2y2?1??(2)由?a2b2，得(b2+a2k2)x2-a2b2=0,

?y?kx?设A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x1+x2=0,x1x2=222,

b+ak

由已知可得,OM⊥ON,易证四边形OMF2N为平行四边形,所以AF2⊥BF2, 因为F2A?(x1?3,y1),F2B?(x2?3,y2),

所以F2A?F2B?(x1?3)(x2?3)?y1y2=(1+k2)x1x2+9=0, 即

-a2·(a2-9)·(1+k2)

a2k2+(a2-9)

-a2b2

+9=0,

4-18a2+81a812

整理为k=-4=-1-4,

a-18a2a-18a2因为

23?e?,所以23?a?32,12?a2?18. 22221]?[,??). 所以k2?,即k的取值范围是(??,?448

【方法归纳 提炼素养】解决取值范围问题的常用方法

(1)构建不等式法:利用已知或隐含的不等关系,构建以待求量为元的不等式求解. (2)构建函数法:先引入变量构建以待求量为因变量的函数,再求其值域. (3)数形结合法:利用待求量的几何意义,确定出极端位置后数形结合求解. 考点二 圆锥曲线中的探索性（或是否存在性）问题 【必备知识】

探索性问题的解题思路：

第一步：先假设存在，用待定系数法设出；

第二步：列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论；

第三步：解方程（组）；若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．

注意：(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；

(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

(3)当条件和结论都不确定，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方

法．

【例2】已知椭圆C：轴长为半径的圆与直线（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知动直线l过右焦点F,且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q,使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】（1）由离心率为，可得，

(相切.

)的离心率为,且以原点O为圆心，椭圆C的长半

且以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆的方程为因与直线相切，则有，即，

，

故而椭圆方程为 恒成立。

),由于（）()=,所以 ，（2）假设在x轴上存在点Q（m,0）,使得A(1,当直线l的斜率不存在时，下面证明时，),B(1,恒成立。 ，0）B（，0）=，0）

当直线l的斜率为0时，A（则（，0）（，符合题意。

,B, 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1,A由x=ty+1及有 ∴=综上所述：在x轴上存在点Q（，0）使得， =，

得

∴；

恒成立。

【方法归纳 提炼素养】1、有关存在性问题的求解策略

此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，若成立则存在，否则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，在针对其表达式进行讨论，其中往往涉及对参数的讨论.求解策略通常有一下三种：

（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定的问题明朗化.其步骤如下：假设满足