2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷 （考试时间：上午8：00—9：40）
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
P1. 如图，在正四棱锥P?ABCD中，∠APC=60°，则二面角A?PB?C的平面角的余弦值为（ ）
1111DA. B. ? C. D. ?
C77222. 设实数a使得不等式|2x?a|+|3x?2a|≥a2对任意实数x恒成
AB立，则满足条件的a所组成的集合是（ ）
111111A. [?,] B. [?,] C. [?,] D. [?3，3]
3322433. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a?2b+10>0成立的事件发生的概率等于（ ）
60525961A. B. C. D.
818181814. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x?c)=1对任意实
bcosc数x恒成立，则的值等于（ ）
a11A. ? B. C. ?1 D. 1
225. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ ）
6. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A(?3，0)，B(1，?1)，C(0，3)，D(?1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最小值为__________。 8. 在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，
CA?33，若AB?AE?AC?AF?2，则EF与BC的夹角的余弦值等于________。
239. 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作
3一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有
22a12?a2?a32
理数。若a1=d，b1=d，且是正整数，则q等于________。
b1?b2?b3sin(πx)?cos(πx)?215(?x?)，11. 已知函数f(x)?则f(x)的最小44x值为________。
12. 将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
n113. 设an??，求证：当正整数n≥2时，an+1 k(n?1?k)k?1114. 已知过点(0，1)的直线l与曲线C：y?x?(x?0)交于两个不同点M和N。 x求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。 15. 设函数f(x)对所有的实数x都满足f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数fi(x)(i=1，2，3，4)满足：（1）对i=1，2，3，4，fi(x)是偶函数，且对任意的实数x，有fi(x+π)=fi(x)；（2）对任意的实数x，有f(x)=f1(x)+f2(x)cosx+f3(x)sinx+f4(x)sin2x。 2007年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） P1. 如图，在正四棱锥P?ABCD中，∠APC=60°，则二面角A?PB?C的平面角的余弦值为（ B ） M1111DA. B. ? C. D. ? C7722解：如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。连结 ABCM、AC，则∠AMC为二面角A?PB?C的平面角。不妨设 AB=2，则PA?AC?22，斜高为7，故2?7?AM?22，由此得 7。在△AMC中，由余弦定理得2AM2?CM2?AC21cos?AMC???。 2?AM?CM72. 设实数a使得不等式|2x?a|+|3x?2a|≥a2对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ A ） 111111A. [?,] B. [?,] C. [?,] D. [?3，3] 33224312解：令x?a，则有|a|?，排除B、D。由对称性排除C，从而只有A正确。 33341一般地，对k∈R，令x?ka，则原不等式为|a|?|k?1|?|a|?|k?|?|a|2， 223CM?AM?34由此易知原不等式等价于|a|?|k?1|?|k?|，对任意的k∈R成立。由于 234?5k?3k??23?34?14|k?1|?|k?|??1?k1?k?， 23?23?3?5kk?1?2?3411所以min{|k?1|?|k?|}?，从而上述不等式等价于|a|?。 k?R23333. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a?2b+10>0成立的事件发生的概率等于（ D ） 60525961A. B. C. D. 81818181解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个。由不等式a?2b+10>0得2b 45?7?5?3?161b=9时，a只能取9，有1种。于是，所求事件的概率为?。 81814. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x?c)=1对任意实 bcosc数x恒成立，则的值等于（ C ） a11A. ? B. C. ?1 D. 1 221解：令c=π，则对任意的x∈R，都有f(x)+f(x?c)=2，于是取a?b?，c=π， 2bcosc则对任意的x∈R，af(x)+bf(x?c)=1，由此得??1。 a一般地，由题设可得f(x)?13sin(x??)?1，f(x?c)?13sin(x???c)?1， π2其中0???且tan??，于是af(x)+bf(x?c)=1可化为 2313asin(x??)?13bsin(x???c)?a?b?1，即 13asin(x??)?13bsin(x??)cosc?13bsinccos(x??)?(a?b?1)?0，所以 13(a?bcosc)sin(x??)?13bsinccos(x??)?(a?b?1)?0。 ?a?bcosc?0(1)?(2)， 由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有?bsinc?0?a?b?1?0(3)?若b=0，则由(1)知a=0，显然不满足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sinc=0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k∈Z)。当c=2kπ时，cosc=1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k bcosc1∈Z)，cosc=?1。由(1)、(3)知a?b?，所以??1。 2a5. 设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ A ） 解：设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心 2c2c轨迹是焦点为O1、O2，且离心率分别是和的圆锥曲线（当r1=r2 |r1?r2|r1?r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。 当r1=r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当0<2c<|r1?r2|时，圆P的圆心轨迹如选项C；当r1≠r2且r1+r2<2c时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A。 6. 已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（ B ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 解：先证|A∪B|≤66，只须证|A|≤33，为此只须证若A是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n∈A，使得2n+2∈B。证明如下： 将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个。由于A是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，即存在n∈A，使得2n+2∈B。 如取A={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}， B={2n+2|n∈A}，则A、B满足题设且|A∪B|≤66。 DC二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A(?3，0)，B(1，?1)，PFC(0，3)，D(?1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的最 A小值为 B 32?25 。 解：如图，设AC与BD交于F点，则|PA|+|PC|≥|AC|=|FA|+|FC|， |PB|+|PD|≥|BD|=|FB|+|FD|，因此，当动点P与F点重合时，|PA|+|PB|+|PC|+|PD| 取到最小值|AC|?|BD|?32?25。 8. 在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6， CA?33，若AB?AE?AC?AF?2，则EF与BC的夹角的余弦值等于 2 。 3解：因为AB?AE?AC?AF?2，所以AB?(AB?BE)?AC?(AB?BF)?2，即 AB?AB?BE?AC?AB?AC?BF?2。因为AB?1， 33?1?36AC?AB?33?1???1，BE??BF，所以1?BF?(AC?AB)?1?2， 2?33?1即BF?BC?2。设EF与BC的夹角为θ，则有|BF|?|BC|?cosθ?2，即3cosθ=2， 2所以cosθ?。 39. 已知正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A 23为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面 353π相交所得到的曲线的长等于 。 6解：如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个 面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。在面AA1B1B上，交线为弧 23πEF且在过球心A的大圆上，因为AE?，AA1=1，则?A1AE?。同理 3623π3ππ??π，而这样的弧共?BAF?，所以?EAF?，故弧EF的长为 36966有三条。在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所 3π得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，?FBG?，所以弧FG的 323π3??π。这样的弧也有三条。 长为 3263353ππ?3?π?于是，所得的曲线长为3?。 96610. 已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有 221a12?a2?a32 理数。若a1=d，b1=d，且是正整数，则q等于 。 2b1?b2?b322a12?a2?a3a12?(a1?d)2?(a1?2d)214解：因为，故由已知条件知道：??22b1?b2?b3b1?b1q?b1q1?q?q22
高中数学联赛一试试题及答案(word版)
