. .
是特征方程的的重根依次取为0、1或2?
例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一个特解?
解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程? 且函数f(x)是Pm(x)e?型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)? 与所给方程对应的齐次方程为
x y???2y??3y?0?
它的特征方程为
r2?2r?3?0?
由于这里??0不是特征方程的根? 所以应设特解为
y*?b0x?b1?
把它代入所给方程? 得
?3b0x?2b0?3b1?3x?1? 比较两端x同次幂的系数? 得
0 ?? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1?
?2b?3b?11?0??3b?3由此求得b0??1? b1?? 于是求得所给方程的一个特解为 y*??x??
例2 求微分方程y???5y??6y?xe的通解?
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?型(其中Pm(x)?x? ??2)? 与所给方程对应的齐次方程为
x2x1
3
13 y???5y??6y?0?
它的特征方程为
r2?5r ?6?0?
特征方程有两个实根r1?2? r2?3? 于是所给方程对应的齐次方程的通解为
Y?C1e2x?C2e3x ?
由于??2是特征方程的单根? 所以应设方程的特解为
y*?x(b0x?b1)e2x?
把它代入所给方程? 得 ?2b0x?2b0?b1?x?
a
. .
比较两端x同次幂的系数? 得
0 ?? ?2b0?1? 2b0?b1?0?
2b?b?0?01??2b?1由此求得b0??1? b??1? 于是求得所给方程的一个特解为
1
2 y*?x(?x?1)e2x? 从而所给方程的通解为
y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x? 提示?
1212y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?
[(b0x?b1x)e]??[(2b0x?b1)?(b0x?b1x)?2]e? [(b0x?b1x)e]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x?b1x)?2]e?
2
2x2
2
2x2
2x2
2xy*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x]
?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x?b1x)?2]e?5[(2b0x?b1)?(b0x?b1x)?2]e?6(b0x?b1x)e ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e?[?2b0x?2b0?b1]e? 二、y???py??qy?e?[Pl (x)cos?x?Pn(x)sin?x] 特解形式应用欧拉公式可得
x2x2x2
2
2x2
2x2
2x e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]
ei? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x]
n22i1(x)?iP(x)]e(??i?)x?1[P(x)?iP(x)]e(??i?)x
?[Pnn2l2l ?e?x[Pl(x) ?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?
其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}? 设方程y???py??qy?P(x)e???的特解为y1*?xQm(x)e???? 则y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?
a
(
1212i)xk(i)x . .
其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1? 于是方程y???py??qy?e?[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解为 y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x ?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x) ?xe?[Rk
x(1)
xm(x)cos?x?R(2)
m(x)sin?x]?
综上所述? 我们有如下结论?
如果f(x)?e?[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 则二阶常系数非齐次线性微分方程
x
y???py??qy?f(x)
的特解可设为
y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?
其中R(1)
m(x)、R(2)
m(x)是m次多项式? m?max{l? n}? 而k 按??i? (或??i?)不是特征方程的根或是
特征方程的单根依次取0或1?
例3 求微分方程y???y?xcos2x的一个特解? 解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程?
且f(x)属于e?[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）? 与所给方程对应的齐次方程为
x y???y?0?
它的特征方程为
r2?1?0?
由于这里??i??2i 不是特征方程的根? 所以应设特解为
y*?(ax?b)cos2x?(cx?d )sin2x?
把它代入所给方程? 得
(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x? 比较两端同类项的系数? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一个特解为 y*??xcos2x?sin2x? 提示?
134? 9
1349y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?
a
. .
y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?
?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?
y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x
?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?
y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x?
??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0§12? 10 微分方程的幂级数解法
当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时? 我们就要寻求其它解法? 常用的有幂级数
解法和数值解法? 本节我们简单地介绍微分方程的幂级数解法?
求一阶微分方程(y?y0)的多项式?
f(x? y)?a00?a10(x?x0)?a01(y?y0)? ? ? ? ?aim (x?x0)(y?y0)? 这时我们可以设所求特解可展开为x?x0的幂级数? y?y0?a1(x?x0)?a2(x?x0)? ? ? ? ?an(x?x0)? ? ? ? ?
其中a1? a2? ? ? ? ? an? ? ? ? ? 是待定的系数? 把所设特解代入微分方程中? 便得一恒等式? 比较这恒等式两端x?x0的同次幂的系数? 就可定出常数a1? a2? ? ? ? ? 从而得到所求的特解? 例1 求方程
2
dy?f(x,y)满足初始条件y|x?x0?y0的特解? 其中函数f(x? y)是(x?x0)、dxlmndy?x?y2满足y|x?0?0的特解? dx2
3
4
解 这时x0?0? y0?0? 故设 y?a1x?a2x?a3x?a4x? ? ? ? ? 把y及y?的幂级数展开式代入原方程? 得 a1?2a2x?3a3x?4a4x?5a5x? ? ? ? ?x?(a1x?a2x?a3x?a4x? ? ? ? ) ?x?a1x?2a1a2x?(a2?2a1a3)x? ? ? ? ? 由此? 比较恒等式两端x的同次幂的系数? 得
22
3
2
4
2
3
4
2
2
3
4
a
. .
a1?0? a2?? a3?0? a4?0? a5?121? ? ? ? ? 20于是所求解的幂级数展开式的开始几项为 y?x2?121x5? ? ? ? ? 20 定理 如果方程 y???P(x)y??Q(x)y?0
中的系数P(x)与Q(x)可在?R n?0?的解? 例2 求微分方程y???xy ?0的满足初始条件y|x?0?0? y?|x?0?1的特解? 解 这里P(x)?0? Q(x)??x在整个数轴上满足定理的条件? 因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数 y?a0?a1x?a2x?a3x?a4x? ? ? ? ??anxn? 2 3 4 ?n?02 由条件y|x?0?0? 得a0?0? 由y??a1?2a2x?3a3x?4a4x? ? ? ?及y?|x?0?1? 得a1?1? 于是 y?x?a2x?a3x?a4x? ? ? ? ?x??anxn n?2234?3 y??1?2a2x?3a3x2?4a4x3? ? ? ? ?1??nanxn?1? n?2? y???2a2?3?2a3x?4?3a4x2? ? ? ? ??n(n?1)anxn?2 ? n?2? y?x?a2x?a3x?a4x? ? ? ??x??anxn 2 3 4 ?n?2 y??1?2a2x?3a3x?4a4x? ? ? ??1??nanxn?1? 2 3 ?n?2 y???2a2x?3?2a3x?4?3a4x? ? ? ? ??n(n?1)anxn?2 ? 2 ?n?2 把y及y??代入方程y???xy ?0? 得 2a2?3?2a3x?4?3a4x? ? ? ? ?n(n?1)anx??? ? ? ?x(x?a2x?a3x?a4x?? ? ??anx?? ? ?)?0? a 2 3 42 n2 n . . 即 2a2?3?2a3x?(4?3a4?1)x?(5?4a5?a 2)x? ?(6?5a6?a3)x? ? ? ? ?[(n?2)(n?1)an?2?an?1]x? ? ? ? ?0? 于是有 a2?0, a3?0, a4?一般地 an?2?4 23 n1, a?0, a?0, ? ? ? ? 64?35an?1(n?3? 4? ? ? ?)? (n?2)(n?1)由递推公式可得 aa41?1, a8?0, a9?0, a10?7?, ? ? ? ? 7?67?6?4?310?910?9?7?6?4?31一般地 a3m?1?(m?1? 2? ? ? ?)? (3m?1)(3m) ? ? ? 7?6?4?3 a7?所求的特解为 y?x? 1x4?1x7?1x10? ? ? ? ? 4?37?6?4?310?9?7?6?4?3a
几种常见的微分方程简介，解法
