. .
通解?
我们看看? 能否适当选取r? 使y?e满足二阶常系数齐次线性微分方程? 为此将y?e代入方程
y???py??qy?0 得
(r ?pr?q)e?0?
由此可见? 只要r满足代数方程r?pr?q?0? 函数y?e就是微分方程的解?
特征方程? 方程r?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的两个根r1、
2
2
2
rx rxrx
rx?p??p2?4qr2可用公式 r1,2?求出?
2 特征方程的根与通解的关系?
(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时?
函数y1?er1x、y2?er2x是方程的两个线性无关的解? 这是因为? 函数y1?er1x、y2?er2xy1er1x(r1?r2)x??e是方程的解? 又不是常数? y2er2x因此方程的通解为
y?C1er1x?C2er2x?
(2)特征方程有两个相等的实根r1?r2时?
函数y1?er1x、y2?xer1x是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解? 这是因为? y1?er1x是方程的解? 又
r1xr1x2r1x (xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1)e?p(1?xr1)e?qxe r1x2 ?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0?
y2xer1x??x不是常数? 所以y2?xe也是方程的解? 且
y1er1xr1xa
. .
因此方程的通解为 y?C1er1x?C2xer1x?
(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2???i?时?
函数y?e???、y?e???是微分方程的两个线性无关的复数形式的解? 函数y?e?cos?x、y?e?sin?x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解? 函数y1?e???和y2?e???都是方程的解? 而由欧拉公式? 得
((
i)x(i)xxxi)x(i)x y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?
y2?e????e?(cos?x?isin?x)?
(
i)xx y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?1(y1?y2)?
2 y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?1(y1?y2)?
2i故e?cos?x、y2?e?sin?x也是方程解?
可以验证? y1?e?cos?x、y2?e?sin?x是方程的线性无关解? 因此方程的通解为
y?e?(C1cos?x?C2sin?x )?
求二阶常系数齐次线性微分方程y???py??qy?0的通解的步骤为? 第一步 写出微分方程的特征方程 r?pr?q?0
第二步 求出特征方程的两个根r1、r2?
第三步 根据特征方程的两个根的不同情况? 写出微分方程的通解? 例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解? 解 所给微分方程的特征方程为 r?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?
其根r1??1? r2?3是两个不相等的实根? 因此所求通解为 y?C1e??C2e?
例2 求方程y???2y??y?0满足初始条件y|x?0?4、y?| x?0??2的特解? 解 所给方程的特征方程为 r?2r?1?0? 即(r?1)?0?
a
2
2
22
xxxxxx3x . .
其根r1?r2??1是两个相等的实根? 因此所给微分方程的通解为 y?(C1?C2x)e??
将条件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 从而 y?(4?C2x)e?? 将上式对x求导? 得 y??(C2?4?C2x)e??
再把条件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解为 x?(4?2x)e??
例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解? 解 所给方程的特征方程为 r?2r?5?0?
特征方程的根为r1?1?2i? r2?1?2i? 是一对共轭复根? 因此所求通解为
y?e(C1cos2x?C2sin2x)?
x2
xxxx n 阶常系数齐次线性微分方程? 方程
y?p1y(n)
(n?1)
?p2 y(n?2)
? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?
称为n 阶常系数齐次线性微分方程? 其中 p1? p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常数?
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推广到n 阶常系数齐次
线性微分方程上去? 引入微分算子D? 及微分算子的n次多项式? L(D)=D?p1D??p2 D?? ? ? ? ? pn?1D?pn? 则n阶常系数齐次线性微分方程可记作
(D?p1D??p2 D?? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子Dy?y? Dy?y?? Dy?y??? Dy?y???? ? ? ??Dy?y? 分析? 令y?e? 则
L(D)y?L(D)e?(r?p1r??p2 rrxn
n1
n?2 rxrx0
2
3
n n1n2
n n1n2
n(n)
? ? ? ? ? pn?1r?pn)e?L(r)e?
rxrx因此如果r是多项式L(r)的根? 则y?e是微分方程L(D)y?0的解?
n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程?
L(r)?r?p1r??p2 ra
n
n1
n?2
? ? ? ? ? pn?1r?pn?0
. .
称为微分方程L(D)y?0的特征方程? 特征方程的根与通解中项的对应? 单实根r 对应于一项? Ce?
一对单复根r1? 2?? ?i? 对应于两项? e?(C1cos?x?C2sin?x)?
xrx
k重实根r对应于k项? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)? 一对k 重复根r1? 2?? ?i? 对应于2k项?
e?[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck x?)cos?x?( D1?D2x? ? ? ? ?Dk x?)sin?x]? 例4 求方程y?2y????5y???0 的通解? 解 这里的特征方程为
r?2r?5r?0? 即r(r?2r?5)?0? 它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i? 因此所给微分方程的通解为
y?C1?C2x?e(C3cos2x?C4sin2x)? 例5 求方程y?? y?0的通解? 其中??0? 解 这里的特征方程为 r???0? 它的根为r1,2?4
4
(4)
4
4
3
2
2
2
(4)
xk1k1
x?2(1?i)? r3,4???2(1?i)?
因此所给微分方程的通解为
?y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)?
§12? 9 二阶常系数非齐次线性微分方程
二阶常系数非齐次线性微分方程? 方程 y???py??qy?f(x)
称为二阶常系数非齐次线性微分方程? 其中p、q是常数? 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y?Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y?y*(x)之和?
y?Y(x)? y*(x)?
当f(x)为两种特殊形式时? 方程的特解的求法?
a
. .
一、 f(x)?Pm(x)e?型
当f(x)?Pm(x)e?时? 可以猜想? 方程的特解也应具有这种形式? 因此? 设特解形式为
xx
y*?Q(x)e?x? 将其代入方程? 得等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
(1)如果?不是特征方程r?pr?q?0 的根? 则??p??q?0? 要使上式成立? Q(x)应设为m 次多项式?
2
2
Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?
通过比较等式两边同次项系数? 可确定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解
y*?Qm(x)e?x?
(2)如果?是特征方程 r?pr?q?0 的单根? 则??p??q?0? 但2??p?0 ? 要使等式
2
2
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
成立? Q(x)应设为（m?1） 次多项式?
Q(x)?xQm(x)?
Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?
通过比较等式两边同次项系数? 可确定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解 y*?xQm(x)e?x?
(3)如果?是特征方程 r?pr?q?0的二重根? 则??p??q?0?2??p?0。 要使等式
2
2
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
成立? Q(x)应设为（m?2）次多项式?
Q(x)?x2Qm(x)?
Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?
通过比较等式两边同次项系数? 可确定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解 y*?xQm(x)e??
综上所述? 我们有如下结论?
如果f(x)?Pm(x)e?? 则二阶常系数非齐次线性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如
x2
x y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的单根或
a
几种常见的微分方程简介，解法
