. .
两边积分得
ln|y|?ln|x?2|?lnC? 方程的通解为 y?C(x?2)? 非齐次线性方程的解法?
将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x)? 把
?P(x)dx y?u(x)e?
设想成非齐次线性方程的通解? 代入非齐次线性方程求得
?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx u?(x)e??u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?
化简得 u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?
u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?
于是非齐次线性方程的通解为
?P(x)dxP(x)dx[Q(x)e?dx?C]? y?e???P(x)dx?P(x)dxP(x)dx?e?Q(x)e?dx? 或 y?Ce??非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和?
5dy2y??(x?1)2的通解? 例2 求方程
dxx?1 解 这是一个非齐次线性方程? 先求对应的齐次线性方程分离变量得
dy2y??0的通解? dxx?1dy2dx?? yx?1两边积分得
ln y?2ln (x?1)?ln C? 齐次线性方程的通解为 y?C(x?1)?
a
2
. .
用常数变易法? 把C换成u? 即令y?u?(x?1)? 代入所给非齐次线性方程? 得
2
2u?(x?1)2?(x?1)2
u??(x?1)?2u?(x?1)?x?125
1u??(x?1)2?
两边积分? 得
2 u?(x?1)2?C? 3再把上式代入y?u(x?1)中? 即得所求方程的通解为
2
32 y?(x?1)[(x?1)2?C]? 3232? Q(x)?(x?1)2?
解? 这里P(x)??x?12)dx??2ln(x?1)?
因为 ?P(x)dx??(?x?1?P(x)dx e??e2ln(x?1)?(x?1)2?
5 Q(x)e所以通解为 y?e??P(x)dxdx??5(x?1)2(x?1)?2dx??132(x?1)2dx?(x?1)23?
??P(x)dxP(x)dx[?Q(x)e?dx?C]?(x?1)2[2(x?1)2?C]?
33 例3 有一个电路如图所示? 其中电源电动势为E?Emsin?t(Em、?都是常数)? 电阻R和电感L都是常量? 求电流i(t)?
解 由电学知道? 当电流变化时? L上有感应电动势?L E?L即
di? 由回路电压定律得出 dtdi?iR?0? dtdi?Ri?E? dtLLdi?Ri?Emsin? t? dtLL 把E?Emsin? t代入上式? 得
初始条件为
a
. .
i|t?0?0?
di?Ri?Emsin? t为非齐次线性方程? 其中 dtLLER P(t)?? Q(t)?msin? t? LL 方程由通解公式? 得
??P(t)dt i(t)?e[?Q(t)e?P(t)dtdt?C]??Rdt?eL(RdtEm??Lsin? teLdt?C)
RttEm?RL ?e(?sin?teLdt?C) L?RtEm ?2(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL? 22R??L其中C为任意常数?
将初始条件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函数i(t)为
t? LEm?REmL? i(t)?2e(Rsin? t?? Lcos? t)?
R??2L2R2??2L2? LEm?
R2??2L2 二、伯努利方程 伯努利方程? 方程
dy?P(x)y?Q(x)yn (n?0? 1) dx叫做伯努利方程?
下列方程是什么类型方程？
dy11?y?(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy (2)?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程?
dxdxxy1 (3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx (1) (4)
dy?2xy?4x? 是线性方程? 不是伯努利方程? dxn 伯努利方程的解法? 以y除方程的两边? 得
a
. .
y?n1n
dy?P(x)y1?n?Q(x) dx令z ?y?? 得线性方程
dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)? dxdyy 例4 求方程??a(lnx)y2的通解?
dxx
解 以y除方程的两端? 得 y?22
dy1?1?y?alnx? dxxd(y?1)1?1即 ??y?alnx?
dxx令z?y?? 则上述方程成为
1
dz?1z??alnx? dxxa2这是一个线性方程? 它的通解为 z?x[C?(lnx)2]? 以y?代z ? 得所求方程的通解为 yx[C?(lnx)2]?1?
经过变量代换? 某些方程可以化为变量可分离的方程? 或化为已知其求解方法的方程? 例5 解方程
1
a2dy?1? dxx?y 解 若把所给方程变形为
dx?x?y? dy即为一阶线性方程? 则按一阶线性方程的解法可求得通解? 但这里用变量代换来解所给方程? 令x?y?u? 则原方程化为
du?1?1? 即du?u?1? dxudxuudu?dx? u?1分离变量? 得
a
. .
两端积分得
u?ln|u?1|?x?ln|C|? 以u?x?y代入上式? 得
y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Ce?y?1?
§12? 5 全微分方程
全微分方程?
一个一阶微分方程写成
y P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0
形式后? 如果它的左端恰好是某一个函数u?u(x, y)的全微分?
du(x, y)?P(x, y)dx?Q(x, y)dy?
那么方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0就叫做全微分方程? 这里
?u?P(x,y)? ?u?Q(x,y)?
?y?x而方程可写为 du(x, y)?0? 全微分方程的判定?
若P(x, y)、Q(x, y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数? 且
?P??Q?
?y?x则方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0是全微分方程? 全微分方程的通解?
若方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0是全微分方程? 且 du(x, y)?P(x, y)dx?Q(x, y)dy 则 u(x, y)?C? 即
?xx0P(x,y)dx??Q(x0,y)dx?C ((x0,y0)?G)?
y04
2
3
2
2
2
y是方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0的通解
例1 求解(5x?3xy?y)dx?(3xy?3xy?y)dy?0? 解 这里
a
几种常见的微分方程简介，解法
