. .
因为y是未知的? 所以积分2xy2dx无法进行? 方程两边直
?接积分不能求出通解? 为求通解可将方程变为 ?1dy?2xdx? 两边积分? 得 y21?x2?C? 或
y??21?
yx?C可以验证函数y??1是原方程的通解?
x2?C 一般地? 如果一阶微分方程y???(x, y)能写成
g(y)dy?f(x)dx
形式? 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y)?F(x)?C?
由方程G(y)?F(x)?C所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程?
一阶微分方程有时也写成如下对称形式? P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在这种方程中? 变量x与y 是对称的?
若把x看作自变量、y看作未知函数? 则当Q(x,y)?0时? 有
dyP(x,y)??? dxQ(x,y)dx??Q(x,y)? dyP(x,y)若把y看作自变量、x看作未知函数? 则当P(x,y)?0时? 有
可分离变量的微分方程? 如果一个一阶微分方程能写成
g(y)dy?f(x)dx (或写成y???(x)?(y))
的形式? 就是说? 能把微分方程写成一端只含y的函数和dy? 另一端只含x的函数和dx? 那么原方程就称为可分离变量的微分方程?
讨论? 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y??2xy? 是? ?y?dy?2xdx ? (2)3x?5x?y??0? 是? ?dy?(3x?5x)dx?
a
2
2
1
. .
(3)(x?y)dx?xydy=0? 不是?
(4)y??1?x?y?xy? 是? ?y??(1?x)(1?y)? (5)y??10?? 是? ?10?dy?10dx? (6)y??xyyx2
2
2
22
x?y? 不是? yx 可分离变量的微分方程的解法?
第一步 分离变量? 将方程写成g(y)dy ?f(x)dx的形式?
第二步 两端积分?g(y)dy?f(x)dx? 设积分后得G(y)?F(x)?C? 第三步 求出由G(y)?F(x)?C所确定的隐函数y??(x)或x??(y)
??G(y)?F(x)?C ? y?? (x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C称为隐式(通)解?
例1 求微分方程
dy?2xy的通解? dx 解 此方程为可分离变量方程? 分离变量后得
1dy?2xdx? y1两边积分得
?ydy??2xdx?
2
即 ln|y|?x?C1? 从而 y??ex2?C1??eC1ex?
2因为?eC1仍是任意常数? 把它记作C? 便得所给方程的通解 y?Cex?
解 此方程为可分离变量方程? 分离变量后得
21dy?2xdx? y1dy?2xdx? ?y?2
两边积分得
即 ln|y|?x?lnC?
a
. .
从而 y?Cex?
例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比? 已知t?0时铀的含量为M0? 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律? 解 铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数
2dM? dt 由于铀的衰变速度与其含量成正比? 故得微分方程
dM???M? dtdM?0? dt其中?(?>0)是常数? ?前的曲面号表示当t增加时M单调减少? 即由题意? 初始条件为 M|t?0?M0? 将方程分离变量得
dM???dt? MdM?(??)dt? ?M?t0
两边积分? 得
即 lnM???t?lnC? 也即M?Ce??? 由初始条件? 得M0?Ce?C?
所以铀含量M(t)随时间t变化的规律M?M0e???
例3 设降落伞从跳伞塔下落后? 所受空气阻力与速度成正比? 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零? 求降落伞下落速度与时间的函数关系?
解 设降落伞下落速度为v(t)? 降落伞所受外力为F?mg?kv( k为比例系数)? 根据牛顿第二运动定律F?ma? 得函数v(t)应满足的方程为 mt
dv?mg?kv? dt初始条件为 v|t?0?0? 方程分离变量? 得
a
. .
dv?dt? mg?kvmdv?dt? ?mg?kv?m两边积分? 得
?ln(mg?kv)?1kt?C? m1?kC1?ktmgem即 v?(C??)? ?Cekkmg将初始条件v|t?0?0代入通解得C???
k?ktmg(1?em)? 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为v?kdy 例4 求微分方程?1?x?y2?xy2的通解?
dx 解 方程可化为
dy?(1?x)(1?y2)? dx1dy?(1?x)dx? 1?y2分离变量得
两边积分得
1dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?
arctany??1?y2?2于是原方程的通解为y?tan(x2?x?C)?
例5有高为1m的半球形容器? 水从它的底部小孔流出? 小孔横截面面积为1cm? 开始时容器内盛满了水? 求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律? 解 由水力学知道? 水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算? Q?2
12dV?0.62S2gh? dt2
其中0? 62为流量系数? S为孔口横截面面积? g为重力加速度? 现在孔口横截面面积S?1cm? 故
dV?0.622gh? 或dV?0.622ghdt? dt 另一方面? 设在微小时间间隔[t? t?dt]? 水面高度由h降至h?dh(dh?0)? 则又可得到
a
. .
dV???rdh?
其中r是时刻t的水面半径? 右端置负号是由于dh?0而dV?0的缘故? 又因 r?1002?(100?h)2?200h?h2? 所以 dV???(200h?h)dh? 通过比较得到
0.622ghdt???(200h?h2)dh? 这就是未知函数h?h(t)应满足的微分方程?
此外? 开始时容器内的水是满的? 所以未知函数h?h(t)还应满足下列初始条件? h|t?0?100?
将方程0.622ghdt???(200h?h2)dh分离变量后得 dt??两端积分? 得 t??2
2
?0.622g13(200h2?h2)dh?
?0.622g?13(200h2?h2)dh?
即 t??(400h2?2h2)?C?
50.622g3其中C是任意常数? 由初始条件得
t??(400?1002?2?1002)?C?
50.622g3 C??35?35?(400000?200000)??14?105?
350.622g0.622g15?因此 t?a
?0.622g(7?1053532?10h?3h2)?
几种常见的微分方程简介，解法
