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第十二章：微分方程
教学目的：
1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4.会用降阶法解下列微分方程：y(n)?f(x)， y???f(x,y?)和y???f(y,y?)
5.理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点：
1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程y(n)?f(x)， y???f(x,y?)和y???f(y,y?)
3、二阶常系数齐次线性微分方程；
4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点：
1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
4、欧拉方程
a
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§12? 1 微分方程的基本概念
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映? 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究? 因此如何寻找出所需要的函数关系? 在实践中具有重要意义? 在许多问题中? 往往不能直接找出所需要的函数关系? 但是根据问题所提供的情况? 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式? 这样的关系就是所谓微分方程? 微分方程建立以后? 对它进行研究? 找出未知函数来? 这就是解微分方程? 几个概念?
微分方程? 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程? 叫微分方程? 常微分方程? 未知函数是一元函数的微分方程? 叫常微分方程? 偏微分方程? 未知函数是多元函数的微分方程? 叫偏微分方程?
微分方程的阶? 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数? 叫微分方程的阶? xy????xy???4xy??3x?
y?4y????10y???12y??5y?sin2x? y?1?0? 一般n阶微分方程?
F(x? y? y?? ? ? ? ? y)?0? y?f(x? y? y?? ? ? ? ? y(n)
(n?1) (n)
(n) (4) 3
2
2
) ?
微分方程的解? 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解? 确切地说? 设函数y??(x)在区间I上有n阶连续导数? 如果在区间I上? F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(x)]?0?
那么函数y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y)?0在区间I上的解?
通解? 如果微分方程的解中含有任意常数? 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同? 这样的解叫做微分方程的通解?
初始条件? 用于确定通解中任意常数的条件? 称为初始条件? 如 x?x0 时? y?y0 ? y?? y?0 ? 一般写成
(n)
(n)
?? yx?x0?y0? y?x?x0?y0 特解? 确定了通解中的任意常数以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常数的解? 初值问题? 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题?
a
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如求微分方程y??f(x? y)满足初始条件yx?x0?y0的解的问题? 记为
?y??f(x,y) ??
yx?x0?y0? 积分曲线? 微分方程的解的图形是一条曲线? 叫做微分方程的积分曲线?
例1 一曲线通过点(1? 2)? 且在该曲线上任一点M(x? y)处的切线的斜率为2x? 求这曲线的方程?
解 设所求曲线的方程为y?y(x)? 根据导数的几何意义? 可知未知函数y?y(x)应满足关系式(称为微分方程)
dy?2x? (1) dx此外? 未知函数y?y(x)还应满足下列条件?
x?1时? y?2? 简记为y|x?1?2? (2) 把(1)式两端积分? 得(称为微分方程的通解)
y?2xdx? 即y?x?C? (3)
2
?其中C是任意常数?
把条件“x?1时? y?2”代入(3)式? 得 2?1?C?
由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x?1?2的解)? y?x?1?
例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶? 当制动时列车获得加速度?0?4m/s? 问开始制动后多少时间列车才能停住? 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米? 根据题意? 反映制动阶段列车运动规律的函数
2
22
s?s(t)应满足关系式
2ds??0.4? (4)
dt2此外? 未知函数s?s(t)还应满足下列条件? t?0时? s?0? v?ds?20? 简记为s|=0? s?|=20? (5)
t?0t?0
dt 把(4)式两端积分一次? 得
a
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v?ds??0.4t?C? (6)
1dt2
再积分一次? 得
s??0?2t?C1t ?C2? (7) 这里C1? C2都是任意常数? 把条件v|t?0?20代入(6)得 20?C1?
把条件s|t?0?0代入(7)得0?C2? 把C1? C2的值代入(6)及(7)式得
v??0?4t ?20? (8) s??0?2t?20t? (9)
在(8)式中令v?0? 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间 t?2
20?50(s)? 0.42
再把t?50代入(9)? 得到列车在制动阶段行驶的路程 s??0?2?50?20?50?500(m)?
解 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米? s????0?4? 并且s|t?0=0? s?|t?0=20? 把等式s????0?4两端积分一次? 得
s???0?4t?C1? 即v??0?4t?C1(C1是任意常数)? 再积分一次? 得
s??0?2t?C1t ?C2 (C1? C2都C1是任意常数)? 由v|t?0?20得20?C1? 于是v??0?4t ?20? 由s|t?0?0得0?C2? 于是s??0?2t?20t?
令v?0? 得t?50(s)? 于是列车在制动阶段行驶的路程 s??0?2?50?20?50?500(m)? 例3 验证? 函数 x?C1cos kt?C2 sin kt 是微分方程
a
2
2
2
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2dx?k2x?0
dt2的解?
解 求所给函数的导数?
dx??kCsinkt?kCcoskt?
12dt2dx??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)?
12122dt2dx将2及x的表达式代入所给方程? 得 dt ?k(C1cos kt?C2sin kt)? k(C1cos kt?C2sin kt)?0?
2dx 这表明函数x?C1coskt?C2sinkt 满足方程2?k2x?0? 因此所给函数是所给方程的解? dt2dx 例4 已知函数x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2?k2x?0的通解? 求满足初始条件 dt22
x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?
解 由条件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得 C1?A?
再由条件x?| t?0 ?0? 及x?(t) ??kC1sin kt?kC2cos kt? 得 C2?0?
把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得 x?Acos kt?
§12? 2 可分离变量的微分方程 观察与分析?
1? 求微分方程y??2x的通解? 为此把方程两边积分? 得
y?x2?C?
一般地? 方程y??f(x)的通解为y?f(x)dx?C(此处积分后不再加任意常数)? 2? 求微分方程y??2xy 的通解?
2
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几种常见的微分方程简介，解法
