.数 列
一．数列的概念：
n1*{a}(n?N)，则在数列的最大项为__（答：）； n2n?15625an，其中a,b均为正数，则an与an?1的大小关系为bn?1（1）已知an?（2）数列{an}的通项为an?__（答：an?an?1）；
（3）已知数列{an}中，an?n2??n，且{an}是递增数列，求实数?的取值范围（答：； ???3）
二．等差数列的有关概念：
1．等差数列的判断方法：定义法an?1?an?d(d为常数）或an?1?an?an?an?1(n?2)。
设{an} 是等差数列，求证：以bn=
a1?a2???an n?N*为通项公式的数列{bn}为等差数列。
n2．等差数列的通项：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。
(1)等差数列{an}中，a10?30，a20?50，则通项an? （答：2n?10）；
（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：?d?3）
833．等差数列的前n和：Sn?n(a1?an)n(n?1)d。 ，Sn?na1?221315(n?2,n?N*)，an?，前n项和Sn??，求a1，n（答：222（1）数列 {an}中，an?an?1?a1??3，n?10）；
2（2）已知数列 {an}的前n项和Sn?12n?n，求数列{|an|}的前n项和Tn（答：
2*??12n?n(n?6,n?N)Tn??2）. *??n?12n?72(n?6,n?N)三．等差数列的性质：
1．当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次
函数，且率为公差d；前n和Sn?na1?函数且常数项为0.
2．若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，
则为常数列。
3．当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有
am?an?2ap.
Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，（1）等差数列{an}中，则n＝____ （答：
n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次22227）
（2）在等差数列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n项和，则 A、S1,S2大于0 C、S1,S2大于0
（答：B）
S5都小于0，S6,S7S10都小于0，S11,S12都大于0 B、S1,S2S19都小于0，S20,S21都
都大于0 D、S1,S2S20都小于0，S21,S22都
4．若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、
{ap?nq}(p,q?N*)、Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也成等差数列，而{aa}成等比数列；
n若{an}是等比数列，且an?0，则{lgan}是等差数列. 等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）
5．在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇?nd；项数为奇数2n?1时，
S奇?S偶?a中，S2n?1?(2n?1)?a中（这里a中即an）；S奇:S偶?(k?1):k。如
（1）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；
（2）项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
An?f(n)，则 Bn6．若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且
an(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). bn(2n?1)bnB2n?1如设{an}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若求
an6n?2（答：） bn8n?7Sn3n?1，?Tn4n?37．“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的
递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组
?an?0??an?0?确定出前多少项为非负（或非正）； ?或??????an?1?0??an?1?0?法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n?N*。
（1）等差数列{an}中，a1?25，S9?S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，
（2）若{an}是等差数列，首项a1?0,a2003?a2004?0，a2003?a2004?0，则使前n项和Sn?0成立的最大正整数n是
（答：4006）
8．如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数
列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm. 四．等比数列的有关概念：
1．等比数列的判断方法：定义法an?1?q(q为常数），其中q?0,an?0或an?1?an(n?2)。
ananan?1（1）一个等比数列{an}共有2n?1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则
5an?1为____（答：）；
6（2）数列{an}中，Sn=4an?1+1 (n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。
2．等比数列的通项：an?a1qn?1或an?amqn?m。
a1?an?66，a2an?1?128，设等比数列{an}中，前n项和Sn＝126，求n和公比q. （答：n?6，
q?1或2） 2a1(1?qn)a1?anq?3．等比数列的前n和：当q?1时，Sn?na1；当q?1时，Sn?。1?q1?q如
（1）等比数列中，S99=77，求a3?a6???a99 （答：q＝2，44）
特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比
q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q?1和
q?1两种情形讨论求解。
4．提醒：（1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设
aaaa为…，2,,a,aq,aq2…（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为…3,,aq,aq3，…，
qqqq因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q2。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）
5.等比数列的性质：
（1）当m?n?p?q时，则有aman?apaq，特别地，当m?n?2p时，则有aman?ap2.
（1）在等比数列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；
（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5?a6?9，则log3a1?log3a2?（答：10）。
{bn}(2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、{ap?nq}(p,q?N*)、{kan}成等比数列；若{an}、?log3a10?
成等比数列，则{anbn}、{n}成等比数列； 若{an}是等比数列，且公比q??1，则
abn
高一数学数列部分经典习题及答案
