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概率论计算题

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计算题:

1111 . 三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为、、,求

534(1)将此密码译出的概率, (2)恰好有一个人译出此密码的概率.

解.:设Ai??第i人能破译?,i?1,2,3,则

423 (1) P(UAi)?1?PA1A2A3?1?PA1P(A2)P(A3)?1????0.6 (6分)

534i=13????(2) P?A1A2A3??P?A1A2A3??P?A1A2A3? (8分)

?P?A1?P(A2)P(A3)?PA1P(A2)P(A3)?PA1P(A2)P(A3) (10

????分)

12341342113 (12分) ??????????53453453430

2 . 已知随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 令Y?cosπX, 求:(1)Y的分布律;(2)E(Y)。 解:(1) P 0.1 0.2 0.3 X -1 0 1 Y -1 1 -1 故Y的分布分律为 Y -1 1 P 0.4 0.6 从而E(Y)=(-1)*0.4+1*0.6=0.2

0.4 2 1

?32?xy,0?x?2,0?y?13 . 设(X,Y)的概率密度为:f(x,y)??2

?其它?0,(1)试求关于X和Y的边缘分布密度,(2)问X和Y是否相互独立(需说明理

由). 解:

fX(x)???????132?1xydy,0?x?2??x,0?x?2f(x,y)dy???02??2 (3分) (为

??0,其它其它??0,什么等于二分之一x而不是二分之三x?))

fY(y)???????2322??0xydy,0?y?1?3y,0?y?1f(x,y)dx??2?? (6分)

0,其它??0,其它?(这里dy应该是dx)

从而:

fX(x)gfY(y)?f(x,y),故X和Y相互独立. (12分)

4 . 设随机变量X和Y的方差分别为25和36,相关系数为0.4,求D(X+Y)及D(X-Y). 解:

D(X+Y)=DX+DY+2?XYDXDY?25?36?2?0.4?25?36?85 (6分) D(X-Y)=DX+DY-2?XYDXDY?25?36?2?0.4?25?36?37 (12分)

5 . 设总体X具有概率密度

??x??1f(x)=??00?x?1其它

x1,x2,?,xn为来自总体X的容量为n的样本,求θ的极大似然估计.

解:

L(?)??f(xi,?)??i?1nn?x?ii?1nn?1,0?xi?1,i?1,2,...n. (4分)

lnL(?)?nln??(??1)?lnxi. (8分)

i?1dlnL(?)nn令???lnxi?0,得:???d??i?1

n?lnxi?1n. (12分)

i1 . 两门高射炮对一架敌机一齐各发一炮,它们的命中率分别为20%,30%。 求:(1)敌机至少中一弹的概率;(2)敌机恰中一弹的概率

解.设Ai表示第i门高射炮击中敌机,i?1,2,则

(1) P(A1UA2)?P?A1??P?A2??P?A1A2??P?A1??P?A2??P?A1?gP?A2??0.44 (6

)

(2)

P(A1A2)?P(A1A2)?P?A1?P(A2)?P(A1)P?A2??0.38

(12分)

2 . 某射手有3发子弹,射一次命中的概率为,如果命中了就停止射击,否则一直射到子弹用尽。设X表示耗用的子弹数。 求:(1)X的分布列;(2)E(X) 解: X的可能取值为1,2,3,于是

221211P?X?1??,P?X?2????,P?X?3??()2? 333939 (6分) 从而X的分布列为

X 1 2 3 P 2/3 2/9 1/9

从而EX=13/9 (12分)

3 . 设随机向量(X,Y)概率密度为

23?8xy,0?x?1,0?y?xf(x,y)=?

0, 其他? 求(1)关于边缘概率密度fX(x),fY(y) (2)概率P{Y≤解:

X2}

fX(x)??????x3???08xydy,0?x?1?4x,0?x?1 (3分) f(x,y)dy????其它?0,?其它?0,fY(y)???????18xydy,0?y?1?4y(1?y2),0?y?1?f(x,y)dy???y?? (这里

0,其它??其它?0,应该是dx) (6分)

x1X??P?Y?????f(x,y)dxdy??dx?28xydy?1/4.002??xy?2 (不理解)

(12分)

4. 两个相互独立的均匀分布的随机 变量X,Y的分布密度分别为:

?1,0?x?1?1,0?y?1,fY(y)?? fX(x)??其它其它?0,?0,求Z?X?Y的概率密度.

.Z的分布密度为 解:Z?X?Y在[0,2]中取值按卷积公式 fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx??fY(z?x)dx (6分)

01?z,0?z?1?dx? ??2?z,1?z?2 (12分) ?0?x?1,z?1?x?z?0,,其他?

kpk(1?p)m?k,k?0,1,2,?,m,其中p5 . 设总体X服从二项分布:P(X?k)?Cm是未知参数,x1,x2,…,xn是总体X的样本。求参数p的极大似然估计量。 解:

xixiL??CmP(1?P)m?xi (4分)

i?1nlnL??lnC?lnp?xi?(nm??xi)ln(1?p) (8分)

ximi?1i?1i?1nnn.ndlnLn111n令??xig?(nm??xi)?0.得:p?xi. (12分) ?dpp1?pnmi?1i?1i?11 . 在房间里有5个人,分别佩戴从1号到5号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码。(1)求最小号码为2的概率;(2)求最大号码为5的概率。 解:

C32(1) 设X表示选出的3人中的最小号码,则P(X?2)?3?3/10 (6

C5分)

2C4(2) 设Y表示选出的3人中的最大号码,则P(Y?5)?3?3/5

C5(12分)

2 . 已知随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 令Y?cosπX, 求:(1)Y的分布律;(2)E(Y)。

解: P X Y 0.1 -1 -1 0.2 0 1 0.3 1 -1 0.4 2 1 故Y的分布分律为 (6分) Y -1 1 P 0.4 0.6 (8分)

从而E(Y)=(-1)*0.4+1*0.6=0.2 (12分)

3 . 随机变量(X,Y)的联合概率密度为

?1?8(x?y) p(x,y)????0??0?x?2,0?y?2

其它求(1)关于X、Y的边缘分布密度;(2) 问X、Y是否相互独立(需说明理由)

211解:(1) 当0?x?2,时fX(x)??(x?y)dy?(x?1) (2分)

084?1?(x?1),0?x?2从而:fX(x)??4?其它?0,

?1?(y?1),0?y?2同理fY(y)??4 、

?其它?0,(2)由上知: fX(x)gfY(y)?f(x,y).故X与Y不是相互独立的.

?3x,0?x?1,0?y?x(X,Y)4 . 设随机变量的分布密度为f(x,y)??,试求

0,其它?Z?X?Y的分布函数和分布密度. 解:当z?0,FZ(z)?0,当0?z?1时 FZ(z)??dx?3xdy??dx?00z1x00zx113xdy?z(3?z2) x?z2x当z?1时,FZ(z)??dx?3xdy?1

概率论计算题

计算题:1111.三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为、、,求534(1)将此密码译出的概率,(2)恰好有一个人译出此密码的概率.解.:设Ai??第i人能破译?,i?1,2,3,则423(1)P(UAi)?1?PA1A2A3?1?PA1P(A2)P(A3)?1????0.6(6分)53
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