1.椭圆：
1.椭圆：
2.双曲线： 2.双曲线：
++-
本周内容：
（5）准线：x=±
（4）离心率：e=
-
二、圆锥曲线的方程。
迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
锥曲线。当0
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨
（3）焦点：(±c,0) 三、圆锥曲线的性质
=1（a>b>0） =1（a>b>0）或∈(0,1)
=1（a>0, b>0）或
+
- 3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）
撰 稿：安东明 编 审：安东明 责 编：辛文升
（2）顶点：(±a,0)
=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）
=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）
（3）焦点：(±c,0)
一、圆锥曲线的定义
（1）范围：|x|≥a, y∈R
（1）范围：|x|≤a，|y|≤b
（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)
本周难点：圆锥曲线的综合应用
本周重点：圆锥曲线的定义及应用
做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫
=1（a>0, b>0）
北 京 四 中
例2.椭圆
主观丢掉一解。 （3）焦点：（ （2）顶点：（0,0） （1）范围：x≥0, y∈R
,0）
x∈(1,+∞)
的位置的影响。
（5）准线：x=-
（5）准线：x=±
四、例题选讲：
（4）离心率：e=
（6）渐近线：y=±
（4）离心率：e=1
3.抛物线：y2=2px(p>0)
解：由题：2b=2，b=1，a=2，c=
+
=
=1的离心率e=
（2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2=
，则椭圆中心到准线的距离：
=
=
解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2=
，则m=___________。
例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
=
=
=
=
m=2。
m=8。
注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭
。
注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆
∴
∴
的面积。
|PF1|·|PF2|=
∴ SΔ=×
解法二：SΔ=
+=e=
即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2,
|PF1|·|PF2|·sin
+|PF1|=
∵ PF1⊥x轴，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2， 关系，我们选用面积公式S=absinC。
c=b。
|PF1|=e(x0+
e=a=)=
解法一：SΔ=
由第二定义：
例3.如图：椭圆
|PF1|+|PF2|=2a=20，
例4.已知F1，F2为椭圆
×=
∵ PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA,
即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36，
由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=c
又解，∵ PF1⊥x轴，∴ 设P(-c, y)。
4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos
点，PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。
解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a,
分析：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的
|F1F2|·|yP|=
。 c, ∴ e=(-c+
)==
, 。
=1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=
，求ΔF1PF2
。
=1（a>b>0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一
×12×yP=6|yP|，
，
求解。 法都试试。 例5.椭圆 144=100+ SΔ=6|yP|=6×|PF1|，|PF2|。
的最值。
例6.椭圆：
4c2=|F1F2|2=(10+
由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-
|PF2|≤|AF2|+10=2 由第二定义：
+
=
|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2，
=exP)2+(10-=。
由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4 (|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4×9=36，
，xP，xP)2-2(10+
，
|PF1|=a+exP=10+
xP)(10-=64(1-+
解：|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-xP，
xP)cos
)=64×
，
，
注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办 分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF1|，|PF2|的表达式写出来，再 解：如图，∵O为F1F2中点，PF1中点在y轴上，∴PF2//y轴，∴PF2⊥x轴，
=1 的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，求：
+10，
。
=1内一点A（2，2），F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF1|
|PF1|
求证：以PF1为直径的圆与以A1，A2为直径的圆相切。
P，Q两点。求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。
证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF1中点为O＇,
A、-A1A2中点为O，
|PF1|-|A1A2|=
∴ 两个圆相内切。 |PQ|=|PP＇|+|QQ＇|，
-|PF2|，圆O半径为
|PF2|=|OO'|
|PQ|=
注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。 证明：由定义知，如图：|PP＇|=|PF|, |QQ＇|=|QF|
(|PP＇|+|QQ＇|)，|A1A2|，圆O＇半径为
1. 椭圆
|OO＇|=
五、课后练习
+
例7.已知：P为双曲线
由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2|
A、20 B、22 C、28 D、24
|PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2
故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。
例8.已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于
注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2. 若点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为
B、
=1（a>0, b>0）上一点，F1，F2为焦点，A1，A2为其顶点。
=1上一点P与椭圆两焦点连线互相垂直，则ΔPF1F2的面积为（ ）
C、-2 D、2
。
，则a+b=( )
[VIP专享]关于抛物线焦点的公式
