§8.4 直线、平面平行的判定与性质
最新考纲 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题. 考情考向分析 直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.
1．线面平行的判定定理和性质定理
判定定理 文字语言 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行?线面平行”) 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”) 图形语言 符号语言 性质定理 l?α??l∥αl∥a??a?α??l∥α ??l?β??α∩β＝b??l∥b 2.面面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”) ??a∩b＝P??a?α?b?α?b∥βa∥βα∥β 1 / 19
性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 知识拓展 重要结论：
??α∩γ＝a??a∥b β∩γ＝b??α∥β(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( × ) (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( × ) (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ ) (5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( × ) (6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( × ) 题组二 教材改编
2．[P61A组T1(1)]下列命题中正确的是( )
A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行
D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，则b∥α 答案 D
解析 A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线也可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知b∥α，正确．
3．[P62A组T3]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．
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答案 平行
解析 连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，
在△BDD1中，E为DD1的中点，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，则BD1∥EO， 而BD1?平面ACE，EO?平面ACE， 所以BD1∥平面ACE. 题组三 易错自纠
4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一与a平行的直线 答案 A
解析 当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A. 5．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件： ①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ； ③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的条件是______．(填上所有正确的序号) 答案 ②④
解析 在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交； 由α∥γ，β∥γ?α∥β，条件②满足；
在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．
6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
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答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG， ∴EF∥HG.同理EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形．
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
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典例 如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD2的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．
(1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：GH∥平面PAD. 证明 (1)连接EC， 1
∵AD∥BC，BC＝AD，
2∴BC綊AE，
∴四边形ABCE是平行四边形， ∴O为AC的中点．
又F是PC的中点，∴FO∥AP，
又FO?平面BEF，AP?平面BEF，∴AP∥平面BEF. (2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，
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∴FH∥PD，又PD?平面PAD，FH?平面PAD， ∴FH∥平面PAD.
又O是BE的中点，H是CD的中点， ∴OH∥AD，又AD?平面PAD，OH?平面PAD， ∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD. 又GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD. 命题点2 直线与平面平行的性质
典例 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积． (1)证明 因为BC∥平面GEFH，BC?平面PBC， 且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC. 同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)解 如图，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK. 因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC， 同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD?底面ABCD， 所以PO⊥底面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD， 且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD， 从而GK⊥EF.
所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 11
从而KB＝DB＝OB，即K为OB的中点．
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高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.4直线、平面平行的判定与性质学案
