12．详解：如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，当DM?平面ABC时，三棱锥D?ABC体积最大此时，OD?OB?R?4QSVABC?心?BM?3AB2?93?AB?6,Q点M为三角形ABC的中42BE?23?RtVOMB中，有3OM?OB2?BM2?2?DM?OD?OM?4?2?61??VD?ABC?max??93?6?183 3
二、填空题（4*5=20分）
13．答案1：若②③，则①；答案2：若①③，则② （写出一个即为满分） 14．312 5015．0.3
16．m?0或m??e?1 e21?0，所以函数在?0,???上为增函数且x详解：因为f??x??1?1?1?f????1??0，所以
e?e?
m有一个公共点，当m?0时， 令x22f?x??g?x?,?x2?xlnx?x?m有一解即可，设h(x）=x2?xlnx?x，令
ee2111h?(x）=2x?lnx+1?=0得x?，因为当0?x?时，h?(x)?0，当?x时，h?(x)?0，
eeee1e?1e?1e?1所以当x?时，h(x）有唯一极小值?2，即h(x)有最小值?2，故当m??2时
eeeee?1有一公共点，故填m?0或m??2.
e当m?0时，与g?x??三、简答题
17．（Ⅰ）因为an?1?2Sn?1，an?2Sn?1?1，n?2， 两式相减得an?1?an?2an,an?1?3an,n?2 注意到a1?1，a2?2S1?1?3?3a1，
n?1于是?n?1,an?1?3an，所以an?3.（6分）
（Ⅱ）因为bn?n，于是
1111??? bnbn?1n?n?1?nn?1所以
111111112017??L??1????L???.（12分） b1b2b2b3b2017b202422320172024202418．（Ⅰ）∵PA?PD，且E为AD的中点，∴PE?AD. ∵底面ABCD为矩形，∴BC//AD，∴PE?BC（4分） （Ⅱ）∵底面ABCD为矩形，∴AB?AD.
∵平面PAD?平面ABCD，平面PADI平面ABCD?AD，ABì平面ABCD， ∴AB?平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB?PD.
又PA?PD，PAIAB?A，PA、ABì平面PAB，?PD?平面PAB， ∵PD?平面PCD，∴平面PAB?平面PCD（8分） （Ⅲ）如图，取PC中点G，连接FG,GD.
∵F,G分别为PB和PC的中点，∴FG//BC，且FG?1BC. 21BC， 2∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，∴ED//BC,DE?∴ED//FG，且ED?FG，∴四边形EFGD为平行四边形，
∴EF//GD，又EF?平面PCD，GD?平面PCD，∴EF//平面PCD.（12分）
19．（Ⅰ）由题得白凤桃质量在350,400?和400,450?的比例为3:2， ∴应分别在质量为350,400?和400,450?的白凤桃中各抽取3个和2个.
记抽取质量在350,400?的白凤桃为A1，A2，A3，质量在400,450?的白凤桃为B1，B2， 则从这5个白凤桃中随机抽取2个的情况共有以下10种：
??????A1A2，A1A3，A2A3，A1B1，A2B1，A3B1，A1B2，A2B2，A3B2，B1B2
其中质量至少有一个不小于400克的7种情况，故所求概率为（Ⅱ）方案B好，理由如下：
由频率分布直方图可知，白凤桃质量在200,250?的频率为50?0.001?0.05
同理，白凤桃质量在250,300?，300,350?，350,400?，400,450?，450,500?的频率依次为0.16，0.24，0.3，0.2，0.05 若按方案B收购：
∵白凤桃质量低于350克的个数为?0.05?0.16?0.24??100000?45000个 白凤桃质量不低于350克的个数为55000个 ∴收益为45000?5?55000?9?720000元 若按方案A收购：
7.（6分） 10??????
根据题意各段白凤桃个数依次为5000，16000，24000，30000，20000，5000，于是总收益为
(225?5000?275?16000?325?24000?375?30000
?425?20000?475?20000?475?5000)?20?1000?709000（元）
∴方案B的收益比方案A的收益高，应该选择方案B.（12分）
20．（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以c?1；
x2 因为椭圆过点A(0,1),所以b?1，所以a?b?c?2，故椭圆的方程为?y2?1.（4分）
2222（Ⅱ）设P(x1,y1),Q(x2,y2)
?x2?y2?1?222联立?2得(1?2k)x?4ktx?2t?2?0，
?y?kx?t(t?1)?2t4kt2t2?2y?y?k(x?x)?2t?，，??0,x1?x2??,xx?1212122221?2k1?2k1?2kt2?2k2. y1y2?kx1x2?kt(x1?x2)?t?1?2k222直线AP:y?1?y1?1?x1?x1x，令y?0得x?，即OM?； x1y1?1y1?1同理可得ON??x2. y2?1?x1?x2x1x2??2；
y1?1y2?1y1y2?(y1?y2)?1因为OMON?2,所以
t2?1?1，解之得t?0，所以直线方程为y?kx，所以直线l恒过定点(0,0).（12分） 2t?2t?121.（Ⅰ）∵f(x)?e?ax?xax，∴f?(x)?e?a，∴f?(1)?e?a 2由题设知f?(1)?0，即e-a=0，解得a=e． 经验证a=e满足题意．（4分）
（Ⅱ）令f?(x)?0，即ex=a，则x=lna， ①当lna＜1时，即0＜a＜e
对于任意x∈（-∞，lna）有f?(x)?0，故f（x）在（-∞，lna）单调递减； 对于任意x∈（lna，1）有f?(x)?0，故f（x）在（lna，1）单调递增， 因此当x=lna时，f（x）有最小值为a?alna?a?3??a??lna?＞0成立．所以0＜a＜e 2?2?②当lna≥1时，即a≥e对于任意x∈（-∞，1）有f?(x)?0， 故f（x）在（-∞，1）单调递减，所以f（x）＞f（1）． 因为f（x）的图象恒在x轴上方，所以f（1）≥0，即a≤2e， 综上，a的取值范围为(0,2e],所以a的最大值为2e．（12分） 22. （Ⅰ）消去参数t，得曲线C的直角坐标方程x?y?4?x?2?.
22将x??cos?，y??sin?代入x?y?4，得?222?cos??sin???4.
22所以曲线C的极坐标方程为?cos2??4??2????????.（5分）
4??4?2???4sin（Ⅱ）将l与C的极坐标方程联立，消去得?????2cos2?. 3??展开得3cos??23sin?cos??sin??2cos??sin?. 因为cos??0，所以3tan2??23tan??1?0. 于是方程的解为tan??22?22??3，即??.
63代入?sin???????????2可得??22，所以点P的极坐标为?22,?.（5分）
6???3???2,x??1,?23．（Ⅰ）当a?1时，f?x??x?1?x?1，即f?x???2x,?1?x?1,
?2,x?1.?故不等式f?x??1的解集为?x|x???1?（5分） ?．2?（Ⅱ）当x??0,1?时x?1?ax?1?x成立等价于当x??0,1?时ax?1?1成立． 若a?0，则当x??0,1?时ax?1?1；
若a?0，ax?1?1的解集为0?x?22，所以?1，故0?a?2． aa综上，a的取值范围为?0,2．（5分） ?
甘肃省天水一中2024届高三上学期第五次（期末）考试数学（文）试题
