高数第七章 无穷级
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第七章 无穷级数
一、敛散性判断(单调有界,必有极限;从上往下,具有优先顺序性):
n?1aq??1、形如n?1q?1q?1的几何级数(等比级数):当时收敛,当时发散。
??1p2、形如n?1n的P级数:当p?1时收敛,当p?1时发散。 3、nlim??Un?0?级数发散; 级数收敛
?limn??Un?0
4、比值判别法(适用于多个因式相乘除):若正项级数
??Unn?1,满
limUn?1足条件
n??U?ln:
?当l?1时,级数收敛;
?当l?1时,级数发散(或l???); ?当l?1时,无法判断。
5、根值判别法(适用于含有因式的n次幂):若正项级数??Unn?1,满
n足条件nlim??Un??:
?当??1时,级数收敛;
?当??1时,级数发散(或????); ?当??1时,无法判断。 注:当l?1,??1时,方法失灵。
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6、比较判别法:大的收敛,小的收敛;小的发散,大的发散。(通过不等式的放缩) 推论:若?Un?1?n与
?Vn?1?nlim均为正项级数,且
Un?ln??Vn(Vn是已知敛散
性的级数)
?若0?l???,则级数???UnVn?1与
?nn?1有相同的敛散性;
?若l?0且级数??Vnn?1收敛,则级数
??Unn?1收敛;
? ?若l???且级数??VnU发散,则级数
?nn?1n?1发散。
7、定义判断:若
nlim??Sn?C?收敛,若nlim??Sn无极限?发散。8、判断交错级数的敛散性(莱布尼茨定理):
满足Un?Un?1,limn??Un?0?收敛,其和S?u1。
9、绝对收敛:级数加上绝对值后才收敛。 条件收敛:级数本身收敛,加上绝对值后发散。
二、无穷级数的基本性质:
1、两个都收敛的无穷级数,其和可加减。 ?2、收敛的无穷级数
?Unnn?1,其和为S,则??aUn?1,其和为aS (级数的每一项乘以不为0的常数后,敛散性不变) 3、?级数收敛,加括号后同样收敛,和不变。
(逆否命题:加括号后发散,则原级数发散) ?加括号后级数收敛,原级数未必收敛。
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高数 第七章 无穷级数 知识点知识讲解
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