又因为f?x?1??f?x??2x,所以?a?x?1??b?x?1??1??ax?bx?1?2x,
22????所以2ax?a?b?2x,所以?2?2a?2?a?12,所以?,即f?x??x?x?1;
?a?b?0?b??11且开口向上, 2(2)因为f?x??x?x?1,所以f?x?对称轴为x?所以f?x?在??1,2??1?3?1?11?1?fx?f???1?,1??递减,在递增,所以, ???min?42??2?42?2??2又f??1????1??1?1?3,f?1??1?1?1?1,所以f?x?max?3, 所以f?x?在??1,1?上的值域为:?,3?. 【点睛】
(1)利用待定系数法求解二次函数的解析式关键是:能根据已知函数类型,将条件中等量关系转化为系数方程组,求解出系数值;
(2)求解二次函数在某个区间上的值域,可先由对称轴和开口方向分析单调性,然后求解出函数最值,即可确定出函数值域. 23.(1)f?x??(2)a???3??4?2π???轾??2?0,,π;犏,单调增区间为?,2sin?2x????犏3?6?臌6?2??6?,2? ?2?【解析】 【分析】
(1)由最大值和最小值求得A,B,由最大值点和最小值点的横坐标求得周期,得?,再由函数值(最大或最小值均可)求得?,得解析式; (2)由图象变换得g(x)的解析式,确定g(x)在[0,?2]上的单调性,而g(x)?a有两个
解,即g(x)的图象与直线y?a有两个不同交点,由此可得. 【详解】
?32A?B?,??2(1)由题意知?
??A?B??2,?2?解得A?又
2,B?2. 2T2??????,可得??2. 2362由f?232??????, ?2sin???????6322????π
. 6
解得??
所以f?x??由2k????2?, 2sin?2x???62???6?2k???2?2x??2,
解得k???3?x?k???6,k?Z.
2π???轾0,犏fxx?0,?又??,所以??的单调增区间为?6?,犏3,π. ??臌(2)函数f?x?的图象向左平移
?12个单位长度,再向下平移
2个单位长度,得到函数2???g?x?的图象,得到函数g?x?的表达式为g?x??2sin?2x??.
3?????4?????2x???,x?0,因为,所以, ??3?33???2?g(x)在[0,]是递增,在[,]上递减,
12122???上有2个不同的实数解, ?2?????要使得g?x??a在?0,即y?g?x?的图像与y?a有两个不同的交点,
?6?,2?. 所以a??2??【点睛】
本题考查求三角函数解析式,考查图象变换,考查三角函数的性质.“五点法”是解题关键,正弦函数的性质是解题基础.
3????,?24.(Ⅰ)f(x)?x(Ⅱ)??
4??2【解析】 【分析】
(I)根据幂函数的奇偶性和在区间(0,??)上的单调性,求得m的值,进而求得f?x?的解析式.
(II)先求得g?x?的解析式,由不等式g(x)?0分离常数?得到??1x?,结合函数2x21x?在区间?1,2?上的单调性,求得?的取值范围. 2x2【详解】 y?(Ⅰ)∵幂函数f(x)?x?3m?5(m?N)为偶函数,且在区间(0,??)上单调递增,
??3m?5?0,且?3m?5为偶数. 又m?N,解得m?1,
?f(x)?x2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知g(x)?f(x)?2?x?1?x?2?x?1. 当x?[1,2]时,由g(x)?0得??易知函数y?21x?. 2x21x?在[1,2]上单调递减, 2x2123?1x???????????.
4?2x2?min2?22∴实数?的取值范围是???,?【点睛】
本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性,考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略,属于中档题.
??3??. 4??2,0?x?4?25.(1)v??2;(2) 10株时,最大值40千克
?x?8,4?x?20??5【解析】 【分析】
当4?x?20时,设v?ax?b,然后代入两组数值,解二元一次方程组可得参数a、b的值,即可得到函数v关于x的函数表达式;
第?2?题设药材每平方米的年生长总量为f?x?千克,然后列出f?x?表达式,再分段求出
f?x?的最大值,综合两段的最大值可得最终结果.
【详解】
(1)由题意得,当0?x?4时,v?2; 当4?x?20时,设v?ax?b,
2??20a?b?02?a??由已知得?,解得?5,所以v??x?8,
5?10a?b?4?b?8?2,0?x?4??故函数v??2.
?x?8,4?x?20??5(2)设药材每平方米的年生长总量为f?x?千克,
2x,0?x?4??依题意及?1?可得f?x???22,
?x?8x,4?x?20??5当0?x?4时,f?x?为增函数,故f(x)max?f?4??4?2?8; 当4?x?20时,f?x???2222x?8x??x2?20x??(x?10)2?40,此时555??f(x)max?f?10??40.
综上所述,可知当每平方米种植10株时,药材的年生长总量取得最大值40千克. 【点睛】
本题主要考查应用函数解决实际问题的能力,考查了理解能力,以及实际问题转化为数学问题的能力,本题属中档题.
26.(1)f?x??x?2x?2;(2)增区间为?1,???,减区间为???,1?;(3)最小值
2为1,最大值为5. 【解析】 【分析】
(1)利用已知条件列出方程组,即可求函数f?x?的解析式; (2)利用二次函数的对称轴,看看方向即可求函数f?x?的单调区间; (3)利用函数的对称轴与x???1,2?,直接求解函数的最大值和最小值. 【详解】
(1)由f?0??2,得c?2,又f?x?1??f?x??2x?1,得2ax?a?b?2x?1,
?2a?22 解得:a?1,b??2.所以f?x??x?2x?2; 故??a?b??1(2)函数f?x??x2?2x?2??x?1??1图象的对称轴为x?1,且开口向上, 所以,函数f?x?单调递增区间为?1,???,单调递减区间为???,1?; (3)f?x??x2?2x?2??x?1??1,对称轴为x?1???1,2?,故
22f?x?min?f?1??1,
又f??1??5,f?2??2,所以,f?x?max?f??1??5. 【点睛】
本题考查二次函数解析式的求解,同时也考查了二次函数单调区间与最值的求解,解题时要结合二次函数图象的开口方向与对称轴来进行分析,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.
2020-2021高一数学上期末试卷(及答案)
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