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数学分析中求极限的方法总结
1 利用极限的四则运算法则和简单技巧
极限的四则运算法则叙述如下：
定理1.1：如果limf（x）=?,limg（x）=? x?x0x?x0（1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)???? x?x0x?x0x?x0（2）lim?f（x）?g（x）?=limf（x)?limg(x)???? x?x0x?x0x?x0limf(x)?f(x)x?x（3）若B≠0 则：lim?0? x?x0g(x)limg(x)?x?x0（4）limc?f(x)?c?limf(x)?c? x?x0x?x0（5）lim?f(x)?x?x0n??limf(x)???n（n为自然数） ?x?x0???n上述性质对于x??,x???,x???也同样成立i
由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
x2?5例1. 求lim的极限
x?2x?3
解：由定理中的第三式可以知道
x2?5??x2?5limx?2lim? x?2x?3lim?x?3?
x?2
?limx2?lim5x?2limx?lim3
x?2x?2x?222?5 ???92?3
例2. 求limx?3x?1?2的极限x?3
解：分子分母同时乘以x?1?2 .
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x?1?2 lim?limx?3x?3 x?3?x?1?2?x?3??x?3??x?1?2x?1?2??
?limx?3?x?3??x?1?2
? ?14
式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知xn?11??1?22?3?1xn ?n?1??n，求limn??解： 观察
11111111=? =1?=?1?22 2?323 ?n?1??n?n-1?n因此得到 xn?11??1?22?3?1 ?n?1??n1111 ?1????22331?1?n ?1?limx?lim 所以 n??nn???1???1?n?
?111?? n?1n?1n
2 利用导数的定义求极限
导数的定义：函数f(x)在x0附近有定义，???，则
如果
f?x0??x??f?x??y?lim?x?0?x?x?0?x lim?y?f?x0??x??f?x0? 存在，
则此极限值就称函数f(x)在点x0的导数记为f'?x0?。 即
.
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lim f'?x0???x?0f?x0??x??f?x0??x 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点x0的导数。
?x?2??ctg2x的极限例4. 求limxx?2 11x?2??ctg2x?解：lim??xtg2x??? x?2limtg2x?tg2???xx2x???2x?lim2x?x?x?22 ???f?x??f???2??1?limx????x?x?2f'??2?2??
3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式：
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（1）limsinx?1，
x?0x?1?（2）lim?1???e
x???x?x 但我们经常使用的是它们的变形：
（1）limsin??x??1,???x??0? ，
??x???x??1?（2）lim??1???x??????e,???x????求极限。
1?2x)例5：lim(x?0(1?x)1x
1x解：为了利用极限lim(1?x)?e故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，
x?0.
数学分析中求极限方法总结
