（1）求图中的值，并估计这批树苗的平均高度（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知所抽取的这120棵树苗来自于，两个试验区，部分数据如下列联表： 优质树苗 非优质树苗 合计
将列联表补充完整，并判断是否有并说明理由．
下面的临界值表仅供参考：
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系，
60 试验区 试验区 20 合计 （参考公式：【答案】（1）
，
，其中
；（2）列联表见解析，没有.
．
【解析】（1）通过直方图中频率之和为1，解出，再计算树苗的平均高度. （2）根据题意补充好列联表，然后把相应的数据代入求【详解】
（1）由频率分布直方图知，
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的公式，求出，再做出判断.
，解得，
计算
估计这批树苗的平均高度为（2）优质树苗有 优质树苗 非优质树苗 合计
试验区 10 60 70 ；
，根据题意填写列联表，
试验区 20 30 50 合计 30 90 120 ，
计算观测值没有【点睛】
本题考查频率分布直方图的相关性质，填写列联表，计算单题.
19．如图，四棱锥
，点为棱
中，的中点.
底面
，
，
的把握认为优质树苗与，两个试验区有关系．
，
和利用进行相关判断.属于简
，，
（1）证明：平面； 的距离.
. ，
，通过条件证明
，
，得到
，
（2）求点到平面
【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）取从而证明
的中点，连结
.
平面
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（2）由（1）知中点，连结【详解】 证明：（1）取
是棱
平面，则易证
，所以点到平面的距离等于点到平面
的距离.
的距离，取
，从而得到点到平面
的中点，连结，，
，
的中点，，，
，， 是平行四边形，，．
，平面
，且，
四边形
平面平面
（2）取
，
在
，
，
中点，连结
中，由余弦定理得，
又
， 底面
，平面
． ，
面平面
，
由（1）知
点到平面【点睛】
平面，点到平面．
的距离等于点到平面的距离，
的距离为
本题考查通过线线平行证明线面平行，通过线面平行将点到平面的距离进行转化，属于中档题.
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20．已知椭圆：（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）与轴不垂直的直线经过
的离心率为，且经过点．
，且与椭圆交于，两点，若坐标原点在以为
直径的圆内，求直线斜率的取值范围．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
列方程组，解方程，代入椭圆方程，写，利用向量的坐标
【解析】（I）根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标，结合组求得
的值，进而求得椭圆方程.（II）设直线的方程为
为直径的圆内得
出判别式和韦达定理，由坐标原点在以运算代入化简，由此解得的取值范围. 【详解】
解：（Ⅰ）由题意可得，解得，，
∴椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为
，
，代入椭圆方程整理可得得
，解得
设
，
，
或，
又∴
∵坐标原点在以
，
，
为直径的圆内，
，
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∴∴
，
，
解得或.
.
故直线斜率的取值范围为【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于中档题. 21．已知函数（1）求曲线
在点
．
处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）【解析】（1）对
；（2）求导得到
.
，代入切点横坐标
得到斜率，再写出切线方程；
（2）令
恒增，而要满足【详解】 （1）（1）曲线
，又（1）
在点
，在
，证明其导函数在上恒为正，即在上
上恒成立，从而得到的取值范围
，
，即切线的斜率处的切线方程
，切点为；
，
（2）令，，则，
令当从而，当
时，
，则
，函数时，
在（1）
．
上为增函数，故．
（1）
；
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2024届甘肃省高三第一次高考诊断考试数学(文)试题(解析版)
