即即为所求．
20．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
… … x 0 2 4 ﹣1 … … y 1 1 m ﹣5 求： （1）这个二次函数的解析式；
（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．
【解答】解：（1）依题意，得，解得；
∴二次函数的解析式为：y=﹣2x2+4x+1．
（2）当x=4时，m=﹣2×16+16+1=﹣15，
由y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故其顶点坐标为（1，3）． 21．AD∥BC，BC=2AD，BE交AC于点F．如图，梯形ABCD中，点E为边DC的中点，求： （1）AF：FC的值； （2）EF：BF的值．
【解答】解：（1）延长BE交直线AD于H，如图， ∵AD∥BC，
∴△DEH∽△CEB， ∴
=
，
∵点E为边DC的中点， ∴DE=CE， ∴DH=BC， 而BC=2AD， ∴AH=3AD， ∵AH∥BC，
∴△AHF∽△CFB，
∴AF：FC=AH：BC=3：2； （2）∵△DEH∽△CEB， ∴EH：BE=DE：CE=1：1，
∴BE=EH=BH，
∵△AHF∽△CFB，
∴FH：BF=AF：FC=3：2；
设BF=2a，则FH=3a，BH=BF+FH=5a， ∴EH=a，
∴EF=FH﹣EH=3a﹣a=a， ∴EF：BF=a：2a=1：4．
22．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．求： （1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；
（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，tan65°=2.1）
【解答】解：（1）设CG=xm，
由图可知：EF=（x+20）?tanα，FG=x?tanβ， 则（x+20）tanα+33=xtanβ， 解得x=（2）x=
； =
=55，
则FG=x?tanβ=55×2.1=115.5≈116．
答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m．
23．已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF?BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：DF?AB=BC?DG；
（2）当点E为AC的中点时，求证：．
【解答】证明：（1）∵BC2=BF?BA， ∴BC：BF=BA：BC， 而∠ABC=∠CBF， ∴△BAC∽△BCF， ∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF， ∴△DGF∽△BAC， ∴DF：BC=DG：BA， ∴DF?AB=BC?DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图， ∵DE∥BC， ∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点， ∴AH=2EG， ∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF， ∴∴
=
， ．
24．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交
于点C，直线y=x+4经过A，C两点， （1）求抛物线的表达式；
（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q的坐标；
（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．
【解答】解：（1）当x=0时，y=4，即C（0，4）， 当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0）， 将A、C点坐标代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的表达式为y=﹣x+4；
（2）PQ=2AO=8，
又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x=﹣1对称， PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，
当x=﹣5时，y=×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣，即P（﹣5，﹣﹣1+4=3，即Q（3，﹣）；
P点坐标（﹣5，﹣），Q点坐标（3，﹣）； （3）∠MCO=∠CAB=45°， ①当△MCO∽△CAB时，=
，即=
，
CM=
．
如图1，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=CM=，
）； 当x=﹣时，y=﹣+4=， ∴M（﹣，）； 当△OCM∽△CAB时，
=
，即
=
，解得CM=3
，
如图2，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH=当x=3时，y=﹣3+4=1， ∴M（﹣3，1），
CM=3，
综上所述：M点的坐标为（﹣，），（﹣3，1）．
25．（14分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动点，点F在射线AD上，且∠ECF=∠B，直线CF交直线AB于点M． （1）求∠B的余弦值；
（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；
（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
【解答】解：（1）连接BD、AC交于点O，作AH⊥BC于H，如图1所示： 则AO=OC=3，BO=4，
∵S△ABC=BC×AH=AC×BO=×6×4=12， ∴×5×AH=12， 解得：AH=
，
=
=，
由勾股定理得：BH=
初三上2016年杨浦区一模(1)
