必修4三角函数综合测试题
一、选择题
1.若点A(x,y)是600°角终边上异于原点的一点,则y
x的值是( )
A.
33 B.-3
3
C.3 D.-3
2.已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=( ) A.4335 B.5 C.-5
D.-45
3.若|cosθ|=cosθ,|tanθ|=-tanθ,则θ2的终边在( )
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第一、三象限或x轴上 D.第二、四象限或x轴上
4.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么( ) A.T=2,θ=π2 B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ=π
2
5.若sin(πx)
=-3
2-2
,且π A.43π B.7π C.5π D.11 63 6π 6.已知a是实数,而函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( ) 7.将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到y=sin(x-π 6) 的图象,则φ=( A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8.若tanθ=2,则2sinθ-cosθsinθ+2cosθ 的值为( ) A.0 B.1 C.34 D.5 4 9.函数f(x)= tanx 1+cosx 的奇偶性是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 1 ) 10.函数f(x)=x-cosx在(0,+∞)内( ) A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点 ππ 11.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立,且f()>f(π),则f(x) 62的单调递增区间是( ) ππ A.[kπ-,kπ+](k∈Z) 36π2π C.[kπ+,kπ+](k∈Z) 63 π 12.函数f(x)=3sin2x-3的图象为C, ①图象C关于直线x= π5π11 π对称;②函数f(x)在区间-12,12内是增函数; 12 B.[kπ,kπ+D.[kπ- π ](k∈Z) 2 π ,kπ](k∈Z) 2 ()()π ③由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C,其中正确命题的个数是( ) 3 A.0 C.2 B.1 D.3 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.将答案填在题中横线上) ππ1 13.已知sinα+2=,α∈-2,0,则tanα=________. 3 14.函数y=3cosx(0≤x≤π)的图象与直线y=-3及y轴围成的图形的面积为________. 15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象如图所示,则ω=________. ()() 16.给出下列命题: 2π ①函数y=cos3x+2是奇函数;②存在实数x,使sinx+cosx=2; 5ππ ③若α,β是第一象限角且α<β,则tanα 8ππ ⑤函数y=sin2x+3的图象关于点12,0成中心对称. 其中正确命题的序号为__________. 三、解答题 17.(10分)已知方程sin(α-3π)=2cos(α-4π),求 sin?π-α?+5cos?2π-α? 的值. 3π2sin2-α-sin?-α? ()()()() () 18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)在一个周期 2 内的图像如图所示,求直线y=3与函数f(x)图像的所有交点的坐标. π3 19.(12分)已知f(x)=sin2x+6+,x∈R. 2(1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)的单调减区间; (3)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样变换得到? π 20.(12分)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象过点P12,0,图象与P点最近的一个最高π点坐标为3,5. (1)求函数解析式; (2)求函数的最大值,并写出相应的x的值; (3)求使y≤0时,x的取值范围. () () () 3 π33π 21.(12分)已知cos2-α=2cos2π+β,3sin2-α π =-2sin2+β,且0<α<π,0<β<π,求α,β的值. π 22.函数f1(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的一段图像过点(0,1),如图所示. 2 ()()() () (1)求函数f1(x)的表达式; (2)将函数y=f1(x)的图像向右平移 π 个单位,得函数y=f2(x)的图像,求y=f2(x)的最大值,并求出此4 时自变量x的集合,并写出该函数的增区间. 4 必修4三角函数综合测试题答案 一、选择题 1. C;2. D;3. D;4. A;5. B6. D;7. D;8. C;9. A;10. B11. C;12. C 二、填空题 13. -22;14. 3π;15. 三、解答题 17.解 ∵sin(α-3π)=2cos(α-4π),∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α).∴-sin(π-α)=2cos(-α). ∴sinα=-2cosα.可知cosα≠0. ∴原式== sinα+5cosα -2cosα+sinα 3 ;16. ①④ 2 -2cosα+5cosα3cosα3 ==-. 4-2cosα-2cosα-4cosα 2π1 =4π,∴ω=, ω2 18.[解析] 由图可知,函数f(x)的A=2,T= 1πππ 此时f(x)=2sin?x+φ?,又f??=2,得sin?+φ?=1,∴φ=2nπ+,n∈Z, 4?2??2??4?1π1π ∴f(x)=2sin?x+2nπ+?,即f(x)=2sin?x+? 4??2?24?1π1π3 当f(x)=3,即2sin?x+?=3,即sin?x+?= ?24??24?21ππ1π2π ∴x+=2kπ+或x+=2kπ+,k∈Z 243243∴x=4kπ+ π5π 或x=4kπ+,k∈Z 66 ∴所求交点的坐标为?4kπ+ ? π5π ,3?或?4kπ+,3?,其中k∈Z. 66??? 19. 解 (1)T= 2π =π. 2 ππ3ππ2π (2)由2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z. 26263 π2π 所以所求的单调减区间为kπ+6,kπ+3(k∈Z). (3)把y=sin2x的图象上所有点向左平移图象. Tπππ20. 解 (1)由题意知=-=,∴T=π. 43124 ∴ω= π2πππ =2,由ω·+φ=0,得φ=-,又A=5,∴y=5sin2x-6. T126 ππ33 个单位,再向上平移个单位,即得函数f(x)=sin2x+6+的1222 []() () πππ (2)函数的最大值为5,此时2x-=2kπ+(k∈Z).∴x=kπ+(k∈Z). 623ππ (3)∵5sin2x-6≤0,∴2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z). 6 () 5 ∴kπ- 5ππ ≤x≤kπ+(k∈Z). 1212 π321. 解 cos2-α=2cos2π+β,即sinα=2sinβ① 3cosα=2cosβ② ()3 3sin(2π-α)=-()π 2sin(2+β),即 12 ①2+②2得,2=sin2α+3cos2α.又sin2α+cos2α=1,∴cos2α=.∴cosα=±. 22π3 又∵α∈(0,π),∴α=,或α=π. 44 π233π (1)当α=时,cosα=,cosβ=cosα=,又β∈(0,π),∴β=. 42262(2)当α= 3π233时,cosα=-,cosβ=cosα=-, 4222 5πππ3π5π . 综上,α=,β=,或α=,β=. 64646 2ππ =2.将y=Asin2x的图像向左平移, T12 πππ =.将(0,1)代入y=Asin?2x+?,得A=2. 6?126? 又β∈(0,π),∴β=22.(1)由题图知,T=π,于是ω= 得y=Asin(2x+φ)的图像,于是φ=2×故f1(x)=2sin?2x+ π?. 6?? (2)依题意,f2(x)=2sin?2?x- ?? π?π?π +=-2cos?2x+?. 4?6?6??π =2kπ+π(k∈Z), 6 ∴y=f2(x)的最大值为2.当2x+即x=kπ+ 5π5π?? ,k∈Z?. (k∈Z)时,ymax=2,x的取值集合为?x|x=kπ+1212?? ∵y=cosx的减区间为x∈[2kπ,2kπ+π],k∈Z, π ∴f2(x)=-2cos(2x+)的增区间为 6π {x|2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z}, 6π5π 解得{x|kπ-≤x≤kπ+,k∈Z}, 1212 ππ5π ∴f2(x)=-2cos(2x+)的增区间为 x∈[kπ-,kπ+],k∈Z. 61212 6
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