必修4三角函数综合测试题
一、选择题
1．若点A(x，y)是600°角终边上异于原点的一点，则y
x的值是( )
A．
33 B．－3
3
C．3 D．－3
2．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝( ) A．4335 B．5 C．－5
D．－45
3．若|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则θ2的终边在( )
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、三象限或x轴上 D．第二、四象限或x轴上
4．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T，且当x＝2时取得最大值，那么( ) A．T＝2，θ＝π2 B．T＝1，θ＝π C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝π
2
5．若sin(πx)
＝－3
2－2
，且π A.43π B.7π C.5π D.11 63 6π 6．已知a是实数，而函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( ) 7．将函数y＝sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y＝sin(x－π 6) 的图象，则φ＝( A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6 8．若tanθ＝2，则2sinθ－cosθsinθ＋2cosθ 的值为( ) A．0 B．1 C.34 D.5 4 9．函数f(x)＝ tanx 1＋cosx 的奇偶性是( ) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 1 ) 10．函数f(x)＝x－cosx在(0，＋∞)内( ) A．没有零点 B．有且仅有一个零点 C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点 ππ 11．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对x∈R恒成立，且f()>f(π)，则f(x) 62的单调递增区间是( ) ππ A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) 36π2π C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) 63 π 12．函数f(x)＝3sin2x－3的图象为C， ①图象C关于直线x＝ π5π11 π对称；②函数f(x)在区间－12，12内是增函数； 12 B．[kπ，kπ＋D．[kπ－ π ](k∈Z) 2 π ，kπ](k∈Z) 2 ()()π ③由y＝3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C，其中正确命题的个数是( ) 3 A．0 C．2 B．1 D．3 二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) ππ1 13．已知sinα＋2＝，α∈－2，0，则tanα＝________. 3 14．函数y＝3cosx(0≤x≤π)的图象与直线y＝－3及y轴围成的图形的面积为________． 15．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________. ()() 16．给出下列命题： 2π ①函数y＝cos3x＋2是奇函数；②存在实数x，使sinx＋cosx＝2； 5ππ ③若α，β是第一象限角且α<β，则tanα 8ππ ⑤函数y＝sin2x＋3的图象关于点12，0成中心对称． 其中正确命题的序号为__________． 三、解答题 17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求 sin?π－α?＋5cos?2π－α? 的值． 3π2sin2－α－sin?－α? ()()()() () 18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)在一个周期 2 内的图像如图所示，求直线y＝3与函数f(x)图像的所有交点的坐标． π3 19．(12分)已知f(x)＝sin2x＋6＋，x∈R. 2(1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调减区间； (3)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样变换得到？ π 20．(12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象过点P12，0，图象与P点最近的一个最高π点坐标为3，5. (1)求函数解析式； (2)求函数的最大值，并写出相应的x的值； (3)求使y≤0时，x的取值范围． () () () 3 π33π 21．(12分)已知cos2－α＝2cos2π＋β，3sin2－α π ＝－2sin2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值． π 22．函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图像过点(0,1)，如图所示． 2 ()()() () (1)求函数f1(x)的表达式； (2)将函数y＝f1(x)的图像向右平移 π 个单位，得函数y＝f2(x)的图像，求y＝f2(x)的最大值，并求出此4 时自变量x的集合，并写出该函数的增区间． 4 必修4三角函数综合测试题答案 一、选择题 1． C；2． D；3． D；4． A；5． B6． D；7． D；8． C；9． A；10． B11． C；12． C 二、填空题 13． －22；14． 3π；15． 三、解答题 17．解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)．∴－sin(π－α)＝2cos(－α)． ∴sinα＝－2cosα.可知cosα≠0. ∴原式＝＝ sinα＋5cosα －2cosα＋sinα 3 ；16． ①④ 2 －2cosα＋5cosα3cosα3 ＝＝－. 4－2cosα－2cosα－4cosα 2π1 ＝4π，∴ω＝， ω2 18．[解析] 由图可知，函数f(x)的A＝2，T＝ 1πππ 此时f(x)＝2sin?x＋φ?，又f??＝2，得sin?＋φ?＝1，∴φ＝2nπ＋，n∈Z， 4?2??2??4?1π1π ∴f(x)＝2sin?x＋2nπ＋?，即f(x)＝2sin?x＋? 4??2?24?1π1π3 当f(x)＝3，即2sin?x＋?＝3，即sin?x＋?＝ ?24??24?21ππ1π2π ∴x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，k∈Z 243243∴x＝4kπ＋ π5π 或x＝4kπ＋，k∈Z 66 ∴所求交点的坐标为?4kπ＋ ? π5π ，3?或?4kπ＋，3?，其中k∈Z. 66??? 19． 解 (1)T＝ 2π ＝π. 2 ππ3ππ2π (2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z. 26263 π2π 所以所求的单调减区间为kπ＋6，kπ＋3(k∈Z)． (3)把y＝sin2x的图象上所有点向左平移图象． Tπππ20． 解 (1)由题意知＝－＝，∴T＝π. 43124 ∴ω＝ π2πππ ＝2，由ω·＋φ＝0，得φ＝－，又A＝5，∴y＝5sin2x－6. T126 ππ33 个单位，再向上平移个单位，即得函数f(x)＝sin2x＋6＋的1222 []() () πππ (2)函数的最大值为5，此时2x－＝2kπ＋(k∈Z)．∴x＝kπ＋(k∈Z)． 623ππ (3)∵5sin2x－6≤0，∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)． 6 () 5 ∴kπ－ 5ππ ≤x≤kπ＋(k∈Z)． 1212 π321． 解 cos2－α＝2cos2π＋β，即sinα＝2sinβ① 3cosα＝2cosβ② ()3 3sin(2π－α)＝－()π 2sin(2＋β)，即 12 ①2＋②2得，2＝sin2α＋3cos2α.又sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝.∴cosα＝±. 22π3 又∵α∈(0，π)，∴α＝，或α＝π. 44 π233π (1)当α＝时，cosα＝，cosβ＝cosα＝，又β∈(0，π)，∴β＝. 42262(2)当α＝ 3π233时，cosα＝－，cosβ＝cosα＝－， 4222 5πππ3π5π . 综上，α＝，β＝，或α＝，β＝. 64646 2ππ ＝2.将y＝Asin2x的图像向左平移， T12 πππ ＝.将(0,1)代入y＝Asin?2x＋?，得A＝2. 6?126? 又β∈(0，π)，∴β＝22．(1)由题图知，T＝π，于是ω＝ 得y＝Asin(2x＋φ)的图像，于是φ＝2×故f1(x)＝2sin?2x＋ π?. 6?? (2)依题意，f2(x)＝2sin?2?x－ ?? π?π?π ＋＝－2cos?2x＋?. 4?6?6??π ＝2kπ＋π(k∈Z)， 6 ∴y＝f2(x)的最大值为2.当2x＋即x＝kπ＋ 5π5π?? ，k∈Z?. (k∈Z)时，ymax＝2，x的取值集合为?x|x＝kπ＋1212?? ∵y＝cosx的减区间为x∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z， π ∴f2(x)＝－2cos(2x＋)的增区间为 6π {x|2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z}， 6π5π 解得{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}， 1212 ππ5π ∴f2(x)＝－2cos(2x＋)的增区间为 x∈[kπ－，kπ＋]，k∈Z. 61212 6
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