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习题2?1
1? 设物体绕定轴旋转? 在时间间隔[0? t]内转过的角度为?? 从而转角?是t的函数? ???(t)? 如果旋转是匀速的? 那么称???为该物体旋转的角速度? 如果旋转
t是非匀速的? 应怎样确定该物体在时刻t0的角速度？ 解 在时间间隔[t0? t0??t]内的平均角速度?为
?(t??t)??(t0) ?????0?
?t?t故t0时刻的角速度为
?(t??t)??(t0) ??lim??lim???lim0???(t0)?
?t?0?t?0?t?t?0?t 2? 当物体的温度高于周围介质的温度时? 物体就不断冷却? 若物体的温度T
与时间t的函数关系为T?T(t)? 应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？ 解 物体在时间间隔[t0? t0??t]内? 温度的改变量为 ?T?T(t??t)?T(t)?
平均冷却速度为
T(t??t)?T(t) ?T??
?t?t故物体在时刻t的冷却速度为
T(t??t)?T(t) lim?T?lim?T?(t)?
?t?0?t?t?0?t 3? 设某工厂生产x单位产品所花费的成本是f(x)元? 此函数f(x)称为成本函数? 成本函数f(x)的导数f?(x)在经济学中称为边际成本? 试说明边际成本f?(x)的实际意义?
解 f(x??x)?f(x)表示当产量由x改变到x??x时成本的改变量?
f(x??x)?f(x) 表示当产量由x改变到x??x时单位产量的成本?
?xf(x??x)?f(x) f?(x)?lim表示当产量为x时单位产量的成本?
?x?0?x 4? 设f(x)?10x2? 试按定义? 求f ?(?1)?
f(?1??x)?f(?1)10(?1??x)2?10(?1)2 解 f?(?1)?lim ?lim?x?0?x?0?x?x2?2?x??x ?10lim?10lim(?2??x)??20? ?x?0?x?0?x.
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5? 证明(cos x)???sin x?
cos(x??x)?cosx 解 (cosx)??lim
?x?0?x?2sin(x??x)sin?x22 ?lim?x?0?xsin?x2]??sinx? ?lim[?sin(x??x)?x?0?x22 6? 下列各题中均假定f ?(x0)存在? 按照导数定义观察下列极限? 指出A表示什么?
f(x0??x)?f(x0)?A?
?x?0?xf(x0??x)?f(x0) 解 A?lim
?x?0?xf(x0??x)?f(x0) ??lim??f?(x0)?
??x?0??xf(x) (2)lim?A? 其中f(0)?0? 且f ?(0)存在?
x?0xf(x)f(0?x)?f(0) 解 A?lim?lim?f?(0)?
x?0xx?0xf(x0?h)?f(x0?h) (3)lim?A?
h?0hf(x0?h)?f(x0?h) 解 A?lim
h?0h[f(x0?h)?f(x0)]?[f(x0?h)?f(x0)] ?lim
h?0hf(x0?h)?f(x0)f(x0?h)?f(x0) ?lim ?limh?0h?0hh ?f ?(x0)?[?f ?(x0)]?2f ?(x0)? (1)lim 7? 求下列函数的导数? (1)y?x4? (2)y?3x2? (3)y?x1? 6?
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(4)y?1?
x (5)y?1?
x2 (6)y?x35x?
232xx? (7)y?x5 解 (1)y??(x4)??4x4?1?4x3 ? (2)y??(x322)??(x3)??2x3?1?2x?3? 3321 (3)y??(x1? 6)??1?6x1? 6?1?1?6x 0? 6?
?11??11? (4)y??()??(x2)???x2??x2?
22x113 (5)y??(1)??(x?2)???2x?3? 2x (6)y??(x3516x)??(x5)??16516?1x5?16511x5?
232?11?xx166 (7)y??()??(x)??x?x6?
66x5115 8? 已知物体的运动规律为s?t3(m)? 求这物体在t?2秒(s)时的速度? 解v?(s)??3t2? v|t?2?12(米/秒)?
9? 如果f(x)为偶函数? 且f(0)存在? 证明f(0)?0? 证明 当f(x)为偶函数时? f(?x)?f(x)? 所以
f(x)?f(0)f(?x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim??lim??f?(0)?
x?0x?0?x?0x?0x?0?x?0从而有2f ?(0)?0? 即f ?(0)?0? f?(0)?lim 10? 求曲线y?sin x在具有下列横坐标的各点处切线的斜率? x?2?? x???
3 解 因为y??cos x? 所以斜率分别为 k1?cos2???1? k2?cos???1?
32.
同济大学版高等数学课后习题答案第2章
