解析：由题意知 f1?x??利用概率密度的性质
1e2??x22?1?,???1?x?3，f2?x???4
??0,???其它31a??a3fxdx?bdx???1?042?4b 2???1??????f?x?dx??af1?x?dx??bf2?x?dx???00??所以2a?3b?4.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
?x?e?td2y?（9） 设?，求2??????????????????. t2dxt?0y??ln?1?u?du?0?【答案】0
【考点】由参数方程所确定的函数的导数 【难易度】★★ 【详解】
dydy/dtln?1?t解析：??dxdx/dt?e?tdy?2dx（10）
22???ln1?te，
??2td?ln?1?t2?etdt?2???dt???dxd2y2tt2t?t?e?ln?1?t?e????e?， ?0 22?dxt?0?1?t??0xcosxdx??????????????????.
【答案】?4?
【考点】定积分的换元法、定积分的分部积分法 【难易度】★★ 【详解】
2解析：令x?t，x?t，dx?2tdt
22原式??tcost?2tdt??2tcostdt?2?tdsint
000??????2????2tsint0??2tsintdt?2?2tdcost?
????0???0??????22tcost0??2costdt??4?cos??2sint0??4? ??0??（11） 已知曲线L的方程为y?1?x??x???1,1?，起点是??1.0?，终点是?1,0?，则曲 线积分
???Lxydx?x2dy??????????????????.
【答案】0
【考点】第二类曲线积分的计算 【难易度】★★★
【详解】 解析：
0?Lxydx?x2dy??xydx?x2dy??xydx?x2dy
L1L210??x?1?x?dx?x2dx??x?1?x?dx?x2??dx?
?10???1?2x2?x?dx???x?2x2?dx
01?2x?x2x?x??21??12????????????????????0
3223?32??23????1??0（12） 设??【答案】
320231??x,y,z?x2?y2?z?1，则?的形心的竖坐标z??????????????????.
?2 3【考点】曲线积分的应用—形心 【难易度】★★★★ 【详解】
???zdxdydz??d??rdr???解析：
???dxdydz?d??rdr?21?00r21?0012zdzdz2??2?02??z2d??rdr??0?2?11011r?0d???1?r2?rdr12????r2?
??2?0?1r4?d??r???dr0?22??1?2?0??r2r6?d?????412?0???02T2T11d??2?266?? ??322T（13） 设?1??1,2,?1,0?,?2??1,1,0,2?,?3??2,1,1,a?，若由?1,?2,?3形成的向量 空间维数是2，则a=?????????????????. 【答案】a?6
【考点】维数 【难易度】★★ 【详解】
解析：因为由?1,?2,?3形成的向量空间维数为2，所以r(?1,?2,?3)?2.对(?1,?2,?3)进行初等行变换：
?1?2?(?1,?2,?3)???1??0所以a?6.
12??112??1????11??0?1?3??0??01??013??0????2a??02a??012??13?
0a?6??00?
（14） 设随机变量X的概率分布为P?X?k??【答案】2
【考点】泊松分布 【难易度】★★ 【详解】
解析：由于概率函数的和一定为1，得
C，则EX2= ?????????????????. k?0,1,2,L，k!??kC??1?ePX?k??Ce?1PX?k?1，即（利用），所以C?e ????????k?0k!k?0k?0k!k?0???e?11k?1P?X?k???e即X服从参数为1的泊松分布.
k!k!2E?X2??D?X????E?X????1?1?2.
2三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说．．．明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分10分）
求微分方程y???3y??2y?2xe的通解.
【考点】自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★ 【详解】
解析：先求方程y???3y??2y?0的通解.
2由特征方程??3??2?0解得特征根?1?1,?2?2
x2x所以方程y???3y??2y?0的通解为yc?C1e?C2e
x下求y???3y??2y?2xe的特解：设特解为y?x(ax?b)e，则
x*x?y????ax*2?2ax?bx?b?ex，?y*?????ax2?4ax?bx?2a?2b?ex
*x代入原方程，解得a??1,b??2，故特解为y?x(?x?2)e
*x2xx故方程的通解为y?yc?y?C1e?C2e?x(x?2)e，其中C1,C2为两个任意常数.
（16） （本题满分10分） 求函数f?x????x1x22?t?e?tdt的单调区间与极值.
2【考点】函数单调性的判别、判断极值的第一充分条件、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】
解析：f(x)??x21(x?t)edt?xedt?2xe?t23?x42?t22?x21edt??te?tdt
13?x4?t2x22所以f?(x)?2x?x21?2xe?2x?e?tdt
1x22令f?(x)?0，则驻点为x?0,x??1； 因为当x?1时，f?(x)?0，0?x?1时，f?(x)?0，
?1?x?0时，f?(x)?0，x??1时，f?(x)?0；
所以f(x)的单调递减区间为(??,?1)U[0,1)；f(x)的单调递增区间为[?1,0)U[1,??)
0所以f(0)??1121(0?t)e?tdt??e?t?(1?e?1)是极大值.
22021f(?1)?0为极小值.
（17） （本题满分10分） （I） 比较
?10ntlnt?ln1?tdt?与?????0lntdt?n?1,2,L?的大小，说明理由；
n1（II） 记un??10lnt?un. ?ln?1?t???dt?n?1,2,L?，求极限limn??n【考点】夹逼准则、定积分的基本性质
【难易度】★★★ 【详解】
解析：当t?0时，lnt?ln(1?t)??0,lntt?0，所以
nn?10lnt??ln?1?t???dt与
n?t01nlntdt均为定积分，故
（I）当0?t?1时0?ln(1?t)?t，
故?ln(1?t)??t，所以lnt?ln(1?t)??lntt
nnnn??lnt?ln(1?t)?dt??lnttndt?n?1,2,L?
001n1（II）
?10lnttndt???lnt?tndt??01111n?1lntdt ???2?0n?1?n?1?故由0?un??10lnttndt?1?n?1?2，
根据夹逼定理，得0?limun?limn??n??1?n?1?2?0
故limun?0.
n??（18） （本题满分10分） 求幂级数
?2n?1xn?1???1?n?12n的收敛域及和函数.
【考点】交错级数与莱布尼茨定理、幂级数的收敛域的求法、幂级数的和函数 【难易度】★★★ 【详解】 解析：
n2n?2(?1)(n?1)?12(n?1)(?1)x?x(2n?1)x22n?122(n?1)?122n?1lim?lim?lim?lim?x?x?1n?1n?12nn??n??n??n??令 (?1)(?1)x2n?12n?1?x2n2n?12n?1∴当?1?x?1时，级数收敛.
(?1)n?12n?(?1)n?1?x??当x??1时，?，由莱布尼兹判别法知，此级数收敛，故原级数2n?12n?1n?1n?1?的收敛域为??1,1?. 设
??(?1)n?12n?1?(?1)n?12nS(x)???x?x????x?
n?12n?1?n?12n?1???(?1)n?12n?1?x x???1,1?， 令 S1(x)??2n?1n?1n?12n?2??(?x2)n?1 x???1,1?， ?S1?(x)??(?1)?xn?1n?1???S1?(x)?11? x???1,1? ，
1?(?x2)1?x2?S1(x)??1dx?S1(0)?arctanx?0，x???1,1?.
01?x2xS1(x)在x??1,1上是连续的，所以S(x)在收敛域??1,1?上是连续的.
?S(x)?x?arctanx. ∴幂级数的和函数为 xarctanx，x???1,1?.
（19） （本题满分10分）
设P为椭球面S:x?y?z?yz?1上的动点，若S在点P处的切平面为xOy面垂
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历年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案1
