全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题参考答案
答案速查： 一、选择题 （1） C （9） 0 三、解答题
x2xx（15）y?C1e?C2e?x(x?2)e
（2） B （3） D （4） D （11） 0 （5） A （12） （6） D （7） C （8） A （14） 2 二、填空题 （10） （13） 6 ?4? 2 3（16）f(x)的单调递减区间为(??,?1)U[0,1)；f(x)的单调递增区间为
1[?1,0)U[1,??).f(x)的极小值为0；极大值为(1?e?1).
2（17）（I）略；（II）0
（18）收敛域为??1,1?；幂级数的和函数为xarctanx，x???1,1?
?x2?y2?z2?yz?1（19）轨迹C为?；曲面积分I?2?
?2z?y?0?3??2??1???1??（20）（I） ???1，a??2； （II） x?k0????，k为任意常数
???2??1?????0??????1??10??22???（21）（I） A??0（II）略 10? ；
?11?0???2??2（22）A???1；fYXyx???1?e?x2?2xy?y2,???x???,???y???
（23）a1?0，a2?111，a3?；D?T???1???? nnn一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
??x2（1） 极限lim? ?? （ ）x??(x?a)(x?b)??（A）1. （B）e. （C）e【答案】C
【考点】等价无穷小 【难易度】★★ 【详解】
a?bx. （D）eb?a.
x2x2:?1. 解析：当x??时，ln(x?a)(x?b)(x?a)(x?b)??xlim?e??limx????x?a??x?b??x????2xx?lnx2?x?a??x?b??ex??limx?lnx2?x?a??x?b?
?e??x2limx??1???x????x?a??x?b???ex??limx3?x3?ax2?bx2?abxx2?ax?bx?ab?ea?b.故选C.
（2） 设函数z?z(x,y)，由方程F(,)?0确定，其中F为可微函数，且F2??0，则
yzxxx?z?z?y? （ ） ?x?y（A）x. （B）z. （C）?x. （D）?z. 【答案】B
【考点】多元隐函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】
Fx??z??解析：?xFz??y??z?F1???2??F2???2?F1??y?F2??zx??x??xx， ???1F2?F2??x1F1??zx， ??????1?y??FzF2F2??xFy?F1???z?zyF1??zF2?yF1?F2??zx?y????z.故选B. ?x?yF2?F2?F2?（3）设m,n是正整数，则反常积分
?1mln2?1?x?n0xdx的收敛性 （ ）
（A） 仅与m的取值有关. （B） 仅与n的取值有关.
（C） 与m,n的取值都有关. （D） 与m,n的取值都无关. 【答案】D
【考点】反常（广义）积分 【难易度】★★★ 【详解】 解析：
?1mln2?1?x?n0xdx??1m20ln2?1?x?nxdx??11mln2?1?x?n2xdx，
对于
?1m20ln2?1?x?nx2dx，瑕点为x?0
1m设n?1 ，lim?x?0[ln(1?x)]x1n?x?0,0?1m1n1?1故收敛. n21mln?1?x?[ln(1?x)]2设n?1,m?1,2,lim存在，?dx不是反常积分.
n0x?0?xx2221m2ln1??1?x?[ln(1?x)]m0?1??1，故2?x设n?1,m?2,lim存在，dx收敛. m?n0x?0?xx21m对于
?1mln2?1?x?n12xdx，瑕点为x?1.
1m当m为正整数时，lim?x?1[ln(1?x)]x1n2?(1?x)?0，其中0???1，故?1?1mln2?1?x?n2xdx收
敛. 故选D. （4）limn ? （ ）??22n??i?1j?1?n?i??n?j?nn（A）
??10dx?dx?x01dy. （B） 21?x1?y????1?10dx?x10?1?x??1?y?dy.
（C）
1100?1?x??1?y?dy. （D）
?10dx?1dy. 20?1?x??1?y?1【答案】D
【考点】定积分的概念 【难易度】★★★ 【详解】
历年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题参考答案1
