2009—2010学年第一学期
《高等数学I(一)》课程考试试卷(A卷)参考答案及评分标
准
注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟
3、姓名、学号必须写在指定地方 阅卷负责人签名：
A．有定
C．连续
5.下列等式 A．
ddx?ba阅卷人 得分 题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 C．
6．函数
一、填空题（共5个小题，每小题2分，共10分）.
?1.设f?x??lim?1?t????32 A．7．若f?u? C．在??1tx??t??x?0?，则f(ln3)? 3 .
A．dy? C．dy?8．
x2.设e?sinx是f?x?的一个原函数，则f'?x?= ex?sinx ．
3.曲线y?x?6x?16的拐点坐标是 ??2,0? . A14.若，则A? 1? ． dx???1?x22?0?20|x?15．lim(x?2)cosx?2阅卷人 得分 1? 0 . x?2二、单项选择题（共10个小题，每小题2分，共20分）.
A．0 ；9．方程y???A.y?c将每题的正确答案的代号A、B、C或D填入下表中.
C.y?c10.曲线y? A． C．
阅卷人 得分 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 C 5 C 6 C 7 B 8 C 9 A 10 A ??10e(e1(e三、解下列
1．计算lim解：limxx???1．已知函数f?x?的定义域为??1,2?，则函数F?x??f?x?2??f?2x?的定义域为（ ）. ?1??1?A．??3,0?； B．??3,1?； C．??,1?； D．??,0?.
?2??2?x???12．x?3是函数f(x)?arctan的（ ）.
3?xA．连续点； B．可去间断点； C．跳跃间断点； D．第二类间断点. 3．当x?0时，eax?1与sin2x等价，则a?（ ）.
?lx ?121 A．1 ； B．2 ； C．?2 ； D．.
21?2,x?0?xsin4．函数f?x??? 在x?0处（ ）. x?,x?0?02．计算limx?0解：lim??2x?02? ?e2xx?0x?2?x?lim?e1?e . 6分
?lim?x?0阅卷人 得分 四、解下列各题（每小题6分，共12分). 1.已知y3?x3?3xy?6y?7?0，求
3. 计算
?dydx?20．
x?2解：
解：两边分别对x求导，得
2 3y?20e2xdydydy?3x2?3y?3x?6?0， 3分 ?e??2?4dxdxdx 当x?2时，y??1，代入上式，得
阅卷人 得分
dy dx??3. 6分
x?22. 设函数y?y(x)由参数方程??x?lnsintt?tsint所确定，求dy?y?cosdx和
d2ydx2. 解：dydydx?dt?sint?sint?tcostdx?cost?tsint 3分
dtsint d2ydy?dtdx?sint?tcostsin2t?tsintcostdx2?cost? . 6分 dtsintcost五、解下列各题（每小题6分，共18分).
1. 计算?x?(arctanx)21?x2dx． 解：?x?(arctanx)2x?arctanx?21?x2dx??1?x2dx??1?x2dx ?1?d?1?x2?21?x2???arctanx?2d?arctanx? 3分 阅卷人 得分 ?12ln?1?x2??13?arctanx?3?C . 6分
x20ln(1?t)dt2．计算lim?x?0x4.
x2解：lim?0ln(1?t)dt?x?0x4?lim2xln?1?x2x?04x3 3分
??
?20e2x六、（本题
设曲线y（1）求
（2）求 解：(1)
与之对 令
以u?122x?所以非
得C?0，
故所求 (2)V?七、(本题
由半径
心角，使圆
解：设
V?13?故V?R324?2V??R24令 V??0得
2626?时，V??0，当????2?时，V??0， 332626因此???为极大值点，又驻点唯一，从而???也是最大值点. 8分
3326即当割去扇形的中心角为2???时，圆锥的容积最大，
323最大容积为?R3. 10分
27当0???八、(本题8分).
1dt?0在区间(0,1)内有唯一实根. 证明：方程3x?1??x01?t4 证明：令f?x??3x?1??x1t4dt，
01? 则f?0???1?0， f?1??2??1101?t4dt?0， 由零点定理知，至少存在一点???0,1?，使f????0. 由f??x??3?11?x4?0，x??0,1?， 知f?x?在(0,1)内单调增加， 所以方程3x?1??x11?t4dt?0在区间(0,1)内有唯一实根. 04分 8分
高等数学 上 期末试卷
