高三数学入学调研试题（二）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合M?{x|lg(x?2)?0}，P?{y|y?3x,x?R}，则MP?（ ）
A．空集
B．P
C．M
D．{x|0?x?3}
2．已知复数z满足3?z?i(2z?1)，则|z|?（ ） A．2
B．2
C．3 D．3
3．已知向量a?(32,12)，b?2，且a?b?3，则a与b的夹角为（ ） A．
πB．
ππ6 2 C．
4 D．
π3 4．若x(ax?x)5的展开式中常数项为270，则实数a?（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
5．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD折叠，使点B与点C间的距离为3，则四面体ABCD外接球的表面积为（ ） A．6π
B．7π
C．8π
D．9π
6．设命题p:?x?0，x3?1，则?p为（ ） A．?x?0，x3?1 B．?x?0，x300?1
C．?x?0，x3?1 D．?xx30?0，0?1
7．已知M为函数y?
8x
的图像上任意一点，过M作直线MA，MB分别与圆x2?y2?1相切于A，B两点，则原点O到直线AB得距离的最大值为（ ）
A．1
B．184
C．2
D．224
8．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x?6)?f(x)，y?f(x?3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是（ ）
11A．f(192)?f(e2)?f(ln2)
B．f(e2)?f(ln2)?f(192) 11C．f(ln2)?f(192)?f(e2)
D．f(ln2)?f(e2)?f(192)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优良”，如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
A．这12天的AQI的中位数是90 B．12天中超过7天空气质量为“优良” C．从3月4日到9日，空气质量越来越好
D．这12天的AQI的平均值为100
10．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A．平面PB1D?平面ACD1 B．A1P∥平面ACD1
- 1 -
C．异面直线A所成角的取值范围是(0,π1P与AD13]
D．三棱锥D1?APC的体积不变
11．设M，N是抛物线y2?x上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为?12，则下列说法错误的是（ ） A．|OM|?|ON|?42 B．以MN为直径的圆的面积大于4π C．直线MN过抛物线y2?x的焦点
D．O到直线MN的距离不大于2
12．已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|?π2)的图象如图所示，令g(x)?f(x) ?f?(x)，则下列关于函数g(x)的说法中正确的是（ ）
A．函数g(x)图象的对称轴方程为x?kπ?π12(k?Z) B．函数g(x)的最大值为22 C．函数g(x)的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线l:y?3x?1平行 D．方程g(x)?2的两个不同的解分别为xπ1，x2，则|x1?x2|最小值为
2 第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．甲、乙、丙、丁四名同学申报3所不同的985高校的自主招生，要求每名同学只能申报一所学校，每所学校必须有同学申报，甲、乙或甲、丙均不能申报同一所学校，则不同的申报方案有 种． 14．已知角?满足cos(??π1π6)?3，则sin(2??6)? ． ．已知椭圆C:x2y215a2?b2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，其关于直线y?bx的对称点Q在椭
圆上，则离心率e? ，S△FOQ? ．
16．已知球O的体积为36π，则球O的内接圆锥的体积的最大值为_________．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在数列{an}中，a1?1，an?1?ana?1，设bn?1a，n?N?．
nn（1）求证数列{bn}是等差数列，并求通项公式bn；
（2）设cn?1n?bn?2，且数列{cn}的前n项和为Sn，若??R，求使Sn?1??cn恒成立的?的取
值范围．
18．（12分）如图，在△ABC中，AB?8，AC?6，AD?BC，M，N分别为AB，AC的中点．
（1）若DM?DN??6，求|BC|；
- 2 -
（2）若
DM?DB|DB|?DN?DC|DC|?5，求?BAC的大小．
19．（12分）如图，四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，
?CDA??BAD?90?，AB?AD?2DC?22，E，F分别为PD，PB的中点．
（1）求证：CF∥平面PAD；
（2）若截面CEF与底面ABCD所成锐二面角为
π4，求PA的长度．
20．（12分）某小学举办“父母养育我，我报父母恩”的活动，对六个年级（一年级到六年级的年级代码分别为1，2，…，6）的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计，绘制得到下面的散点图．
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于x的回归方程，并据此预计该校学生升入中学的第一年（年纪代码为7）给父母洗脚的百分比．
6附注：参考数据：
(xix)2n17.5，
(xix)(yiy)35，133000365．
i1i1n?xi?x??yi?y?参考公式：相关系数r??i?1?nr0.95，则y与x的线性相关程度相当
?x2n，若2i?x??1??yi?y?ii?1- 3 -
高，可用线性回归模型拟合y与x的关系．
n(xix)(yiy)回归方程ybxa中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：b?i1n，
(x2ix)i1aybx?．
2221．（12分）已知点A(1,2)是离心率为22的椭圆C:yxa2?b2?1（a?b?0）上的一点，斜率为2的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合． （1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值；
（3）△ABD面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
22．（12分）已知函数f(x)?x2(6lnx?4x?6a?3)有两个极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）设x1，x2（x1?x2）是f(x)的两个极值点，证明：1lnx?2lnx?0．12
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数 学（二）答 案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C
【解析】因为lg(x?2)?0，所以2?x?3，即M?{x|2?x?3}， 又P?{y|y?3,x?R}?{y|y?0}，所以M?P，因此M2．【答案】A 【解析】∵z?3．【答案】A
【解析】设a与b的夹角为?， ∵a?(xP?M．
3?i(3?i)(1?2i)1?7i17????i，∴|z|?2． 1?2i(1?2i)(1?2i)555313， ,)，∴a?1，∴a?b?a?bcos??3?cos??222∵??[0,π]，∴??4．【答案】C
π． 6rr5?r【解析】展开式的通项公式Tr?1?x?C5()5?r(?x)r?C5a(?1)rx2r?4， 23故当r?2时，Tr?1为常数项，此时C5a?270，故a?3．
ax5．【答案】B
【解析】根据题意可知四面体ABCD的三条侧棱BD?AD、DC?DA，底面是等腰
△BDC，
它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，
求出三棱柱的上下底面三角形的中心连线的中点到顶点D的距离，就是球的半径， 三棱柱中，底面△BDC，BD?CD?1，BC?3，∴?BDC?120?，
∴△BDC的外接圆的半径为
13??1， 2sin120? - 5 -
新高考2021届高三数学入学调研试题二
