【最新】数学《集合与常用逻辑用语》试卷含答案
一、选择题
1．“函数f(x)??x2?2(a?1)x?3在区间(??,2]上单调递增”是“a??4”的（ ）
A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】
2先分析“a??4”能否推出“函数f(x)??x?2(a?1)x?3在区间(??,2]上单调递增”，这2是必要性分析；然后分析“函数f(x)??x?2(a?1)x?3在区间(??,2]上单调递增”能否
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
推出“a??4”，这是充分性分析，然后得出结果. 【详解】
若a??4，则对称轴x??(a?1)?3?2，所以f(x)在(??,2]上为单调递增， 取a??3，则对称轴x??(a?1)?2，f(x)在(??,2]上为单调递增，但a??4，所以“f(x)在(??,2]上为单调递增”是“a??4 ”的必要不充分条件. 【点睛】
充分、必要条件的判断，需要分两步：一方面要说明充分性是否满足，另一方面也要说明必要性是否满足.
2．下列有关命题的说法正确的是（ ）
1在其定义域上是减函数 xB．命题“若x?y，则sinx?siny”的逆否命题为真命题
A．函数f(x)?C．“x??1”是“x2?5x?6?0”的必要不充分条件
D．命题“若x2?1，则x?1”的否命题为“若x2?1，则x?1” 【答案】B 【解析】 【分析】
对于选项A：利用反比例函数的图象与性质判断即可；
对于选项B：利用原命题与它的逆否命题同真假，判断原命题的真假即可； 对于选项C：根据充分条件与必要条件的定义即可判断； 对于选项D：根据原命题的否命题的定义判断即可； 【详解】
对于选项A：由反比例函数的图象与性质知，函数f(x)?调递减，故选项A错误；
1在区间???,0?,?0,???上单x对于选项B：由题意知，当x?y时，sinx?siny显然成立，故原命题为真命题，根据原命题与其逆否命题同真假可知，其逆否命题亦为真命题，故选项B正确；
对于选项C：当x??1时，有x2?5x?6?0成立，反过来，当x2?5x?6?0时，可得
x?6或x??1，所以“x??1”是“x2?5x?6?0”的充分不必要条件，故选项C错误；
对于选项D：根据原命题的否命题的定义知，命题“若x2?1，则x?1”的否命题为“若
x2?1，则x?1”，故选项D错误；
故选：B 【点睛】
本题考查反比例函数的单调性、四种命题之间的关系及真假判断和充分条件与必要条件的判断；熟练掌握四种命题之间的关系及真假判断的方法是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
?x?y?1?0?3．已知?7x?y?7?0，表示的平面区域为D，若“?(x,y),2x?y?a”为假命题，则实
?x?0,y?0?数a的取值范围是（ ） A．[5,??) 【答案】A 【解析】 【分析】
作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数最大值，再根据特称命题和全称命题的真假关系得出“?(x,y),2x?y?a”为真命题，由恒等式的思想可得实数
B．[2,??)
C．[1,??)
D．[0,??)
a的取值范围.
【详解】
绘制不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
令Z?2x?y得y??2x?Z，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点A处取得最大值，
?x?y?1?0?47?联立直线方程?得点A?,?，所以Z?2x?y的最大值为5，
?33??7x?y?7?0因为“?(x,y)?R,2x?y?a”为假命题，所以“?(x,y),2x?y?a”为真命题，所以实数a的取值范围是5?a， 故选：A.
【点睛】
本题考查线性规划问题的最值，以及特称命题与全称命题的关系和不等式的恒成立思想，属于中档题.
4．a??1是函数f(x)?ax2?x?1有且仅有一个零点的（ ） 4B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
A．充分不必要条件 条件 【答案】A 【解析】 【分析】
1代入函数证明充分性，取a?0得到不必要，得到答案. 4【详解】
将a??11?1?当a??时，f(x)??x2?x?1???x?1??0，x??2，充分性； 44?2?当a?0时，f(x)??x?1?0，x??1，一个零点，故不必要. 故选：A. 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.
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5．已知实数a?0，b?0，则“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】
x构造函数f(x)?e?2x(x?0),利用函数f(x)的单调性和充分与必要条件的定义判断即
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
可. 【详解】
ea?2b?eb?2a?ea?2a?eb?2b，
令f(x)?e?2x(x?0)，则f?(x)?e?2， 令f?(x)?0，解得x?ln2，
xx?x?为R上的增函数,
''所以当x??0,ln2?时,f?x??0;当x??ln2,???时,f?x??0,
因为f'故f(x)在(0,ln2)上单调递减，在(ln2,??)上单调递增， 所以当a?b?1时，f(a)?f(b)，即ea?2a?eb?2b, 即“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的充分条件；
但当0?a?b?ln2时，有f(a)?f(b),即ea?2a?eb?2b, 所以当ea?2b?eb?2a时,可得a?b?1或0?a?b?ln2， 故“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的不必要条件.
综上可知“a?b?1”是“ea?2b?eb?2a”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】
x本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数f(x)?e?2x(x?0),利用函数的单调性
进行判断;属于中档题.
6．“a?0”是“函数y?ex?a为偶函数”的（ ） A．充分不必要条件 条件 【答案】C 【解析】
|x|解析：若a?0，则y?e是偶函数，“a?0”是“函数y?ex?aB．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
为偶函数”的充分条件；若
x?a函数y?ex?a为偶函数，则对称轴为x?0，即x?a?0，则“a?0”是“函数y?e为
偶函数”的必要条件，应选答案C．
7．若数列?an?的前n项和为Sn，则“Sn?A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
必要性显然成立；由Sn?n?a1?an?”是“数列?an?是等差数列”的（ ） 2B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
n?a1?an?(n?1)?a1?an?1?，Sn?1?，得
22(n?1)an?1?a1?(n?2)an①，同理可得(n?2)an?2?a1?(n?3)an?1②，综合①，
②，得2an?1?an?an?2，充分性得证，即可得到本题答案. 【详解】
必要性显然成立；下面来证明充分性，
若Sn?n?a1?an?(n?1)?a1?an?1?2时，Sn?1?，所以当n…，
22所以2an?n?a1?an??(n?1)?a1?an?1?，化简得(n?1)an?1?a1?(n?2)an①，
3时，(n?2)an?2?a1?(n?3)an?1②， 所以当n…①?②得2(n?2)an?1?(n?2)?an?an?2?，所以2an?1?an?an?2，即数列?an?是等差数列，充分性得证，所以“Sn?故选：C. 【点睛】
本题主要考查等差数列的判断与证明的问题，考查推理能力，属于中等题.
n?a1?an?”是“数列?an?是等差数列”的充要条件.
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8．已知集合A?|x|y?lg4?xA．?x|1?x?2?
??2??，B??x|y??x2?4x?3，则AIB?( )
?B．?x|1?x?2? D．?x|?2?x?3?
x3? C．?x|1剟【答案】B 【解析】 【分析】
根据对数函数和二次函数的性质，求得集合A,B，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合A?x|y?lg4?x所以AIB?{x|1?x?2}. 故选：B． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合A,B是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
??2???(?2,2),B?{x|y??x2?4x?3}?[1,3]，
9．已知点P不在直线l、m上，则“过点P可以作无数个平面，使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
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