二元一次方程组应用题分类精析
列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；
（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； （4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案． 一、倍分问题
例1、甲乙二人，若乙给甲10元，则甲所有的钱为乙的3倍，若甲给乙10元，则甲所有的钱为乙的2倍多10元，求甲乙各拥有多少钱？
解：设甲原来有X元，乙原来有Y元。 X+10=3（Y-10） X-10=2（Y+10）+10
1、一块矩形草坪的长比宽的2倍多10米，它的周长是132米，则宽和长分别是多少？
提示：设宽为X米，长为Y米 Y-2X=10
2（X+Y）=132
2、一批书分给组学生，每人6本则少6本，每人5本则多5本，该组共有多少名学生，这批书共有多少本？
提示：设有X名学生，Y本书， 6X=Y+6
5X+5=Y X=11，Y=60
3、某班学生有x人，准备分成y个组开展活动，若每个组7人，则余3人；若每个组8人，则差5人.求全班的人数和所分组数。
?7y?3?x?x?59??8y?5?x?y?8?提示：设全班有x,所分组数为y组，则； 4、三年级有学生246人，其中男生比女生人数的2倍少3人，求男、女生各有多少人？
提示：设男生有X名，女生有Y名 X+Y=246 Y=2X-3
5、甲乙两条绳共长17米，如果甲绳子减去五分之一，乙绳增加1米，两条绳子相等，求甲、乙两条绳各长多少米？
提示：设甲绳长X米，乙绳长Y米，则 X+Y=17 X-1/5X=Y+1
6、已知长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千米，求黄河、长江各长多少千米？
提示：设黄河长度为X米，长江长度为Y米，则 X-Y=836 6Y-5X=1284
7、甲乙两个商店各进洗衣机若干台，若甲店拨给乙店12台，则两店的洗衣机一样多，若乙店拨给甲店12台，则甲店的洗衣机比乙店洗衣机数的5倍还多6台，求甲、乙两店各进洗衣机多少台？
X-2=12+12
5（Y-12）+6=X+12
8、小红和小华各自购买新书若干本，已知小红买的比小华的2倍多6本，如果小红给小华9本，则小华是小红的2倍，小红和小华各买新书多少本？
提示：题中有两个未知数------小红买的新书、小华买的新书； 题中有两个相等关系 （1）小红买的新书—2X小华买的新书=6；
（2）2X（小红买的新书—9）=（小华买的新书+9）
解：设小红买新书X本，小华买新书Y本，根据题意得 X—2Y=6 2X（X—9）=Y+9 解得X=16，Y=5
9、把3米长的铁丝分成两段，做成一个正方形和一个长方形框，已知长方形的长是宽的2倍，长方形的长比正方形的边长长0。3米，求两个图形的面积。
提示：设长方形框的宽为x，则长为2x,再设正方形的边长为y米，根据题意，得2(x+2x)+4y=3 2x-y=0.3解得x=0.3,y=0.3,长方面的面积=0.18 正方形框的面积=0。09。
10、有甲、乙两条绳子，其中甲绳长的3/8与乙绳长的1/3叠合后，全长238厘米，求甲乙两绳长各是多少厘米？
提示：设甲绳长是x厘米，乙绳长是y厘米。则3/8x=1/3y x+(1-1/3)y=238解得x=136 y=153. 11、小明春节原有压岁钱若干元，先用去一部分，剩余的钱为用去的2倍，后来又用掉1200元，最后剩下的钱为原有的三分之一，问小明原来有压岁钱多少元？ 提示：设原有X元，先用去Y元 X-Y=2Y
X-Y-1200=1/3X。解得X=3600元。
12、某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩，游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人，而每个女生都看见涂蓝色的人数是涂红色人数的3／5，则晚会上男、女生各有几人？
分析：每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的２倍少１人，这里涂蓝色油彩的人数不是题中所有男生的人数，而是除自己之外的男生人数，同理，女生看到的人数关系也应是除去自己以外的男、女生人数关系。
正解：设晚会上男生有x人，女生有y人。
把①代入②，得y＝3/5[2(x－1)－1－1]，所以x＝12
答：晚会上男生有12人，女生有21人。
13、某班有学生49人，一天该班一男生因事请假，当天的男生人数恰好是女生人数的一半，男生有 17 人，女生有 32 人
二、年龄问题 解这类问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。年龄问题的主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用。解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。
例1、父子的年龄差30岁，五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍，问今年父亲和儿子各是多少岁？ 解：设今年父亲的年龄为X岁，儿子的为Y岁，
则根据（1）父子的年龄差30岁，可列式得：X-Y=30；（2）五年后，父亲的年龄是X+5岁，儿子的年龄是Y+5岁；由五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍，可列式得：X+5=3（Y+5）（3）联立两式，得今年父亲的年龄是40岁，儿子的年龄是10岁。 X-Y=30
X+5=3（Y+5）
例2：1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?
A．34岁，12岁 B．32岁，8岁 C．36岁，12岁 D．34岁，10岁
【答案】D。 解析：抓住年龄问题的关键即年龄差，1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍，则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄，2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍，此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄，根据年龄差不变可得
3×1998年乙的年龄=2×2002年乙的年龄
3×1998年乙的年龄=2×（1998年乙的年龄+4） 1998年乙的年龄=8岁
则2000年乙的年龄为10岁 1、学生问老师：“您今年多少岁了？”老师风趣的说：“我像你这样大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经37岁了”试求老师和学生的年龄各是多少？ 提示：设老师为X岁，学生为Y岁，（1）老师年龄增加的同时学生的年龄也在增加，“我像你我样大的时候，”可以得知老师是Y岁，老师由Y岁增加到X岁，增加了X-Y岁；学生由1岁增加到Y，增加了Y-1岁。增加的年份是相等的量。即：X-Y=Y-1；（2）老师由X岁到37岁时，增长的量是37-Y；学生由Y岁增加到X岁，增长的量是X-Y，二者相等。 X-Y=Y-1
37-X=X-Y 解得X=25；Y=13。
2、甲乙两人在聊天，甲对乙说：\当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。”你能算出他们两人各几岁吗？
提示：设甲乙他们的岁数分别是X、Y（1）当我的岁数是你现在的岁时，你才4岁，由这句话得知，当时甲是Y岁，乙是4岁，甲由Y岁到X岁，增加了X-Y，乙增加了Y-4，二者是相等的；（2）乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁。”这句得知，乙的岁数由Y变为X，增加了X-Y，甲呢由X岁变为61岁，增加了61-X。二者增加的量相等。联立方程可得 X=42 Y=23
3、现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍，7年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是多少岁？
提示：设父亲和儿子的年龄分别为X和Y，现在父亲的年龄是儿子年龄的3倍，由这句话得X=3Y，“7年前父亲的年龄是儿子年龄的5倍，”由这句话得7年前父亲的年龄是X-7，儿子的年龄是Y-7，所以得到X-7=5（Y-7）解得X=42，Y=14 三、数字问题
1、56十位上的数字5表示 5 个 10 ，个位上的数字6表示 6 个1，
那么56可写成 5X10+6 。 2、（1）一个三位数百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c。请你表示出这个三位数：
设百位上的数字为x，则这个百位数可表示为：100x+10（x+3）+（x+5）
（2）已知：一个三位数十位上的数字比百位上的数字大3，个位上的数字比十位上的数字大2。请你表示出这个三位数：
设百位上的数字为x，则这个三位数可表示为：100x+10（x+3）+（x+5） （3）若各位上的数字之和不大于11，求这个三位数。 x+（x+3）+（x+5）≤11
3、 326=32× 10 +6=3× 100 +26 7321=73× 100 +21
1234=12× 100 +34
abc表示一个三位数，则abc=a× 100 +bc=ab× 10 +c 若abcd表示一个四位数，则abcd=ab× 100 +cd
例1：两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这个两位
思考：设较大的两位数为x，较小的两位数为y，
1、在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数可表示为 100X+Y 2、在较大的两位数的左边写上较小的两位数，得到一个四位数可表示为 100Y+X 解：设在较大的两位数为x，较小的两位数为y，则有
x+y=68
(100x+y)—(100y+x)=2178 解得x=45 y=23
答：这两个两位数分别是45和23
例2：一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45；又已知百位数字的9倍比由十位和个位数字组成的两位数小3，求原来的三位数。
解：设百位数字为x，由十位和个位数字组成的两位数为y， 则原来的三位数为100x+y，对调的三位数为10y+x，则 9x=y—3
10y+x=100x+y—45 x=4 y=39
则原来的三位数为100x+y=4×100+39=439。
另解：设百位数字为x，十位数字y，个位数字为z，则有 9x=10y+z—3
(100x+10y+z)—(100y+10z+x)=45 得x=4
10y+z=9x+3=39
则原来的三位数是100x+10y+z=100×4+39=439
1、 有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．
分析：本题涉及两位数的计算问题从实际问题中可的两个相等关系：（1）个位数字—十位数字=5；（2）新数+原数=143．根据这两个相等关系，可通过设十位数字为x，个位数字为y，列方程组求到十位数字和个位数字，然后确定两位数.
解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．根据题意，得
?y?x?5,??(10y?x)?(10x?y)?143.?x?4,?解这个方程组，得?y?9.
所以这个两位数是4×10+9=49．
2、 有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数.
分析：一位数后面多写一个0，则这个一位数扩大了10倍,如果两位数为x,一位数为y,则根据两位数的和为146可得x+10y=146;根据被除数=除数×商数+余数可得x=6y+2,由此可得到方程组.通过解方程组确定两位数和一位数.
解：设这个两位数为x，这个一位数为y，根据题意,得
?x?10y?46,?x?56,??x?6y?2?，解得?y?9.
所以这个两位数为56,一位数为9.
3、．有一个两位数，其值等于十位数字与个位数字之和的4倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
?10x?y?4(x?y),??y?x?2.则可列方程组为
?x?2,?解这个方程组，得?y?4.所以这个两位数为24．
4、一个三位数和一个两位数的差为225，在三位数的左边写这个两位数，得到一个五位数，在三位数的右边写上这个两位数，也得到一个五位数，已知前面的五位数比后面的五位数大225，求这个三位数和两位数．
. 设三位数为x，两位数为y．
?x?y?225??(1000y?x)?(100x?y)?225 ?x?250?解得?y?25
这个三位数是250，两位数为25．
5、如下图，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数．
（1）在图①中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x、y的值； （2）把满足（1）的其它6个数填入图②的方格内．
分析：本题是一道与表格数字排列有关的信息试题，根据各行、各列及对角线上的数字和相等，可列方程组解决．所列的方程组不惟一． 解：（1）由已知条件可得
?2x?3?2?4y?(?3)?2，??2x?y?4y?4y?(?3)?2．
?x??1，?解得?y?1．
（2）将x?1，y??1代入表格，所得表格如图③所示．
6、甲、乙两人做加法，甲将其中一个加数后面多写了一个0，所得的和是2342，乙将同一个加数后面少写了一个0，所得的和是65，求原来的两个加数．
原来的两个加数分别是42和230．
提示：设这两个加数分别是x、y，其中y是两人同时看错的数，根据题意，得
?x?10y?2342,?1?x?y?65.??10
7、有一个三位数，各数位上的数字之和等于14，个位上的数字比十位上的数字大4，如果把百位上的数字与个位上的数字对调，所组成的新数比原数的3倍多98，求这个三位数是多少？ 提示：设百位数字是x，十位数字是y，个位数字是z，根据题意，得
?x?y?z?14,??z?y?4,?100z?10y?x?3(100x?10y?z)?98.?
二元一次方程组应用题分类
