1.简要说明原子轨道量子数及它们的取值范围
解：原子轨道有主量子数 n，角量子数|，磁量子数m与自旋量子数s,对类氢原子（单电子原子）来
2
说，原子轨道能级只与主量子数
n相关E Z R。对多电子原子，能级除了与
n
n相关，还要考虑电子
间相互作用。角量子数|决定轨道角动量大小，磁量子数 自旋量子数s则表示轨道自旋角动量大小。
m表示角动量在磁场方向（z方向）分量的大小,
1
n 取值为 1、2、3??…;| = 0、1、2、??…、n- 1; m= 0、±1 ±2 ……±l取值只有
一。
2
2.在直角坐标系下，Li2+的Schr?dinger方程为 ______________________ 。
解：由于Li2+属于单电子原子，在采取 “-O'近似假定后，体系的动能只包括电子的动能，则体系的动
能算符：T?
h2 8 m
2
2
;体系的势能算符：\\?
Ze2 4 0r
3e2 4 0r
故Li2+的 Schr?dinger 方程为:
h2
2
3e2
式中:
2
2 ____
2
x2
3.对氢原子,
y2
r = ( x2+ y2+ z2F2
z2
C1
210
C2
211
C3
31 1，其中
211
和 31 1都是归一化
的。那么波函数所描述状态的（
能量平均值为多少（ 2）角动量出现在 ..2h 2的概率是多少，角动
量z分量的平均值为多少
解：由波函数
C1
210
C2
211
C3 31 1 得：n1=2, h=1,m1=0; n2=2, b=1,m2=1;出=3,
l3=1,m3=-1;
2
（1）由于
210, 211 和 31 1都是归一化的，且单电子原子
（eV）
CE
2 3 3
E 13.6―
故
E
■
CE
i 2 1
1 1
CE
2 2 2
1 2 1
C13.6 =eV cf 13.6 peV
22 22
13.6 2 13.9 c； eV cjeV C1
4 9
(2)由于 |M I \l(l
1)
1
13
.6 ?eV
, l1=1， l2=1， l3=1，又,210 ,
211
和 31 1 都是归一化的,
故
c； M C3 M 3 2 2 h 2 h 2 ---------------- h
C2 ■ l2 l2 1 ——C3 ■ l3 l3 1 o C1 ■. l1 l1 1
2 2 2
2 ------------ h 2 ------------ h
c： J1 1 1 — c2 11 1 ——c3 11 1 ——
2 2 2 2h 2
2
2
Ci2 Mi
C2 M
1
则角动量为、、2h2出现的概率为:
1
210
故 M z'
2
h
CM
i
,m1=0,m2=1,m3=-1;又 ,
211
和 311都是归一化的,
h
2
c
c|m2
2 * 2
m°3 3
2
3
2
h
G 0 C1 C
h 1 - 2
C2 C
2 2 3
4.已知类氢离子 He+的某一状态波函数为:
32
1
2
2
2r
e-2r2a。
2 ea
rr
4 2
a
0 0
(1) 此状态的能量为多少
(2) 此状态的角动量的平方值为多少 (3) 此状态角动量在 z方向的分量为多少 (4) 此状态的n， I， m值分别为多少 (5) 此状态角度分布的节面数为多少
解：由 He+的波函数
1 4 2
1/2
T/2
2r
ao
2
e-2r2a°，可以得到:Z=2,则 n=2, l=0, m=0
ao
2
(1) He+为类氢离子， E
13.6务(eV)，则 E
n 1)
2
136务(eV)
n 0(0 1) 0
2
2
13.6 写(eV) 13.6eV
22
由 l=0，M 2 l(l ,得 M2 l(l 1)
由 | m|=0， M
Z m
此状态下n=2, 1=0, m=0 (5) 角度分布图中节面数=I,
又1=0，故此状态角度分布的节面数为
0。
⑵电子离核的平均距离； ⑶
5. 求岀LP+ 1s态电子的下列数据：(1)电子径向分布最大值离核的距离; 单位厚度球壳中岀现电子概率最大处离核的距离;
(4)比较2s和2p能级的高低次序；(5) Li原子的第一
电离能。(1s
1
(|)
3
2
e
a
0
ax
dx
Z —
ar 0
n!
~n 1 )
a
3
解：⑴Li2+ 1s态电子的
1s
a
0
1 3 2 ——()2e “ a°
3
3
—r
a
0
2 2 1S
r
27
e a。
3
108
a
3 r e
2 °
—D
dr
108
3
1
6 2r r
aa
。
2r §r2 a0
°
臥
e
r也
6
r
3
1s电子径向分布最大值在距核 (2) 电子离核的平均距离
*
1sr 1sd
1sd
6 r a
2
27
6 r
r
sin drd d
a0 2
~3 0
a
27
r3e ° dr sin 0
4 a°
27
~3
a°
216
2 1s
1 (3)2 0
a
27
，因为e；S随着r的增大而单调下降，所以不能用令一阶导数为
a
;°
0的方法求其最大值离核
的距离。分析 ；的表达式可见，r=0时
最大，因而 :也最大。但实际上^r r不能为0 (电子不可能
e a0
落到原子核上) ，因此更确切的说法是 r趋近于0时1s电子的几率密度最大。
(4) Li2+为单电子 原子”，组态的能量只与主量子数有关，所以
2s和2p态简并，即即 E2s= E2p
=。因而:
(5) Li原子的基组态为(1s)2(2sy。对2s电子来说，1s电子为其相邻内一组电子,
2
E
2s
?亠 3 13.6 弩 2 5.75eV
根据Koopmann定理，Li原子的第一电离能为:
I1
E2s 5.75eV
6.已知H原子的
—e “ cos 9 a。
试回答: (1)原子轨道能E (3)轨道角动量和
值;
轴夹角的度数。
轨道角动量绝对值 M I；
r ao
解：由H原子的波函数
2pz
r
e
r a
0 cos
9可以得到其主量子数 n=2，角量子数l=1, a。
4 2 a；
1
3T2
磁量子数m=0
(1)对单电子原子 E
1810 2.18
(J )，故原子轨道能为:
E 2.18 10 18J
(2)由轨道角动量的大小
5.45 10 19 J
11
h
1
2 ，则轨道角动量为:
------- h ..11 1 h
2
2
2
(3)由轨道角动量在磁场方向(Z轴的方向)上的分量 MZ m ——，设轨道角动量M和Z轴的夹 2 角为9,则:
cos
则=90'
Mz M
0 A 2 .2 Jh
2
7. 一个电子主量子数为 4, 的状态
解：(1)由电子主量子数为
这个电子的l, m, ms等量子数可取什么值这个电子共有多少种可能
n= 4,角量子数I的取值范围为0, 1, 2,…，n-1,则1=0,1,2, 3
(2) 由磁量子数 m的取值范围为0, ±1 ±2…士，则m=0, ±1 ±2 ±3 (3) 对单个电子
ms=±Z2
(4) 这个电子l=0, 1,2, 3, s=1/2，对于每一个不同的I、s值，对应(2l+1) (2 s +1)个可能的状态，则这个 电子共有:
(2X0+1 (2 X/2+1)+ (2X1+1 (2 X/2+1)+ ( 2X2+1 (2 X/2+1)+ (2 X3+1(2 X/2+1) =2+6+10+14=32
8. 碳原子1s22s22p2组态共有1S0, 3P0, 3P1 , 3P2 , 1D2等光谱支项，试写出每项中微观能态数目及按照 Hund规则排列出能级高低次序
解：碳原子1sP2s22p2组态对应光谱支项有：1S0, 3P0, 3P1, 3P2,吧2,则每个谱项对应的各量子数见下
表: 1S0 0 0 0 1 3P0 1 1 0 1 3P1 1 1 0 3 3P2 1 1 0 5 3
1D2 0 2 2 5 S L J 2J+1 ⑴根据Hund规则，原子在同一组态下 S值最大者能级最低：则由上表可以得到：
P0、3Pi、3P2能
量相对较低；对于一定 L和S值，在电子壳层半满前(2p2)，J值愈小，能级愈低，则该 低顺序为：3R> 3Pi >3Po ;由原子在同一组态下
3个谱项的能级高
S值相同，L值最大者，能级最低，则剩余两个谱项的能
级高低顺序为：1S> 1D2 ,由此可以得到5个谱项的能级高低顺序为：1S> 1D2 >3R> 3Pi>3Po
(2)
2、
3
由于在磁场中光谱支项分裂为： (2J+1)个能级，因此光谱支项 1S0、呛
P2、3P1、3R)对应的微观
能态数目为1、5、5、3、1。
9.
2
求下列谱项的各支项，及相应于各支项的状态数： P;
3
P; 3D;
2
D; 1D
解：(1)由谱项2P可以得到对应的 S=1/2、L=1,对于L迨上L+SL+S1,…L-S|,则J=32、1/2，对应的光谱支 项为
2
P32、2PI/2；每个光谱支项对应的微观状态数为： (2J+1),其状态数分别为4和2。
, 3P0 ,其状态数分别为 5, 3,
(2) 由谱项3P可以得到对应的S=1、L=1,则J=2、1、0,光谱支项为3P2 , 3P1 1。
(3) 由谱项3D可以得到对应的S=1、L=2,则J=3、2、1,光谱支项为3D3 , 3D2 , 3D1 ,其状态数分别为 7, 5, 3。
(4) 由谱项2D可以得到对应的 S=1/2、L=2,则J=5^2、32,光谱支项为2D5/2 , 2D32,其状态数分别为 6, 4。
(5) 由谱项1D可以得到对应的S=0、L=2,则J=2,光谱支项为1D2 ,其状态数为 5。 10.
给出1s,
2p和3d电子轨道角动量的大小及其波函数的径向和角度部分的节面数。
解：1s， 2p和3d电子对应的主量子数、角量子数、角动量、径向分布节面数、角度部分节面数，分别 见下表：
轨道
主量子数
角量子数
角动量
径向分布节面数
角度部分节面数
n l
M l l 1 h 2
n-l-1 l
结构化学课后答案第2章习题原子的结构与性质
