利用导数解决三次函数的性质：单调性和极值
漳浦二中 杨建平
摘要：以三次函数为背景的题型，解题的关键是要深刻地领会三次函数的性质，只有如此才能找出解三次函数的切入点，使这种问题最终取得完美的解答；同时对这些性质的研究有助于提高探讨能力．巧妙地利用三次函数的性质，能够使咱们的解题方式更简练、思维更优化，学习效果更高．
导数为研究函数的性质提供了新的工具，通过求导能够研究函数的单调性和极值。专门地，三次函数y?ax?bx?cx?d(a≠0)已经成为高中时期一个重要的函数，在高考和一些重大考试中频繁显现与它有关的相关命题。近几年高考，在江苏卷、浙江卷、天津卷、重庆卷、湖北卷中等都显现了那个函数的单独命题，而且有的以压轴题的形式显现，更应该引发咱们的重视。当函数f(x)为三次函数时，通过求导取得的函数f?(x)为二次函数，且原函数的极值点确实是二次函数的零点。依照这些特点，关于三次函数问题，一样可通过求导，转化为二次函数或二次方程问题，然后结合导数的大体知识及二次函数的性质来解决。
三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)，导数f?(x)?3ax2?2bx?c(a?0)，令
32??4b2?12ac?4(b2?3ac)，
1．三次函数的单调性
2性质1：当a?0且b?3ac?0，那么f(x)在(??,??)上单调递增；
当a?0且b?3ac?0，那么f(x)在(??,??)上单调递减.
推论：函数y?ax?bx?cx?d(a≠0)，当??0时，不存在极大值和极小值；当
322??0 时，有极大值f(x1)、极小值f(x2)。且f?(x1)?0,f?(x2)?0。
依照a和?的不同情形，其图象特点别离为：
2性质2：假设b?3ac?0，那么f?(x)?0有两个解：
?b?b2?3ac?b?b2?3ac,x2? x1?3a3a2 当a?0且b?3ac?0时，f(x)在(??,x1)和(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调
递减；
当a?0且b?3ac?0时，f(x)在(??,x1)和(x2,??)上单调递减，在(x1,x2)上单调递增.
2．三次函数的极值
性质3：当b?3ac?0时，f(x)无极值；
22?b?b2?3ac当b?3ac?0时，（1）假设a?0，f(x)在x1?处有极大值f(x1)；
3a2?b?b2?3acf(x)在x2?处有极小值f(x2)；（2）假设a?0，f(x)在
3a?b?b2?3ac?b?b2?3ac处有极小值f(x1)；f(x)在x2?处有极大值f(x2). x1?3a3a一、含参三次函数单调区间的求解
三次函数单调区间由f?(x)?0或f?(x)?0的解集来决定， 因此能够从根的大小、判别式?和二次项系数等方面来入手讨论.
求三次函数的单调区间， 确实是确信二次不等式f?(x)?0 或f?(x)?0的解集，其解法就等同于含参数的一元二次不等式的解法了.
例1．设函数f(x)??13x?x2?(m2?1)x(x?R)，求函数f(x)的单调区间与极值. 3[分析]方程f?(x)?0 的两个根是x?1?m或x?1?m， 这两个根的大小关系不确信， 因此分类的标准是1?m 与1?m 的大小关系.
32解：f?(x)??x?2x?m?1，令f?(x)?0，解得x?1?m或x?1?m
（1）当1?m?1?m，即m?0时，当x转变时，f?(x)、f(x)的转变情形如下表：
x f?(x) (??，1?m) 1?m 0 极小值 (1?m，1?m) 1?m 0 极大值 (1?m，??) ? ? ? f(x) 1?m)和(1?m，??)是减函数，在(1?m，1?m)是增函数. 函数f(x)在(??，231m?m2? 332312函数f(x)在x?1?m处取得极大值f(1?m)?m?m?
33函数f(x)在x?1?m处取得极小值f(1?m)??（2）当1?m?1?m即m?0时，现在，f?(x)?0恒成立，故函数f(x)的单调减区间为R，无极值.
（3）当1?m?1?m即m?0时，当x转变时，f?(x)、f(x)的转变情形如下表：
x f?(x) f(x) (??，1?m) 1?m 0 极小值 (1?m，1?m) 1?m (1?m，??) ? ? 0 极大值 ? 1?m)和(1?m，??)是减函数，在(1?m，1?m)是增函数. 函数f(x)在(??，231m?m2? 332312函数f(x)在x?1?m处取得极小值f(1?m)?m?m?
33函数f(x)在x?1?m处取得极大值f(1?m)??二、已知三次函数单调性求参数范围问题
已知三次函数单调性求参数范围转化为f?(x)?0恒成立或f?(x)?0恒成立问题来处置，注意等号不能遗漏，不然造成参数范围的漏解.
已知三次函数单调性求参数范围可有两种方式解决，一是分参，二是二次函数思想。做题目时，随机应变.
例2．f(x)?x?ax?2x?1，
（1）f(x)在[1,3]上单调递增，求a的取值范围； （2）f(x)在[?1,2]上单调递减，求a的取值范围； （3）f(x)在[0,1]上不单调，求a的取值范围。
[分析]已知函数单调性转化为 f?(x)?0恒成立或f?(x)?0恒成立来处置。 解：（1）
32f(x)在[1,3]上单调递增，
2?3x2?2 ?f?(x)?3x?2ax?2?0在[1,3]上恒成立，即a?在[1,3]上恒成立
2x
利用导数解决三次函数的性质单调性和极值
