2012年全国高中数学联赛试题
考试时间：2012年10月14日上午8:00-9:20
一． 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。把答案填在试卷相应题号的横上。 1. 设??是函数??=??+(??>0)的图像上任意一点，过点??分别向直线??=??和??轴作垂线，垂2. 设△??????的内角??,??,??的对边分别为??,??,??，且满足??cos?????cos??=??，则
5
??2?????????????????的值是______________。 足分别为??,??，则????
3_________________。
tan??
tan??的值是
3. 设??,??,??∈[0,1]，则??=?|?????|+?|?????|+?|?????|的最大值是____________。
4. 抛物线??2=2????(??>0)的焦点为??，准线为??，??,??是抛物线上的两个动点，且满足5. 设同底的两个正三棱锥?????????和?????????内接于同一个球。若正三棱锥?????????的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥?????????的侧面与底面所成角的正切值是_____________。 6. 设??(??)是定义在??上的奇函数，且当??≥0时，??(??)=??2。若对任意的??∈[??,??+2]，不等式??(??+??)≥2??(??)恒成立，则实数??的取值范围是_______________。 7. 满足 4 ?? 3 1??1∠??????=，设线段????的中点??在??上的投影为??，则| 3 ??|????|????| 的最大值是___________。 8. 某情报站有??,??,??,??四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。设第1周使用??种密码，那么第7周也使用??种密码的概率是______________。（用最简分数表示）。 二． 解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。 9. （本小题满分16分） 已知函数??(??)=??sin???cos2??+???+，??∈??且??≠0。 2 ?? 2 131（1）若对任意??∈??，都有??(??)≤0，求??的取值范围； （2）若??≥2，且存在??∈??，使得??(??)≤0，求??的取值范围。 10. （本小题满分20分） 已知数列{????}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数??，都有 333 (??1+??2+?+????)2=??1+??2+?+???? （1）当??=3时，求所有满足条件的三项组成的数列??1,??2,??3； （2）是否存在满足条件的无穷数列{????}，使得??2013=?2012？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由。 YB11. （本小题满分20分） 如图，在平面直角坐标系??????中，菱形????????的边长为4，且|????|=|????|=6。 （1）求证：|????|?|????|为定值； C（2）当点??在半圆??:(???2)2+??2=4(2≤??≤4)上运动时，AO求点??的轨迹。 X D2012年全国高中数学联赛加试试题 考试时间：2012年10月14日上午9:40-12:10 一、（本题满分40分） 如图，在锐角△??????中，????>????,??,??是????边上两个A不同的点，使得∠??????=∠??????。设△??????和△??????的外心分别为??1,??2，求证：??1,??2,??三点共线。 O2二、（本题满分40分） 试证明：集合??={2,22,?,2??,?}满足 O1（1）对每个??∈??，及??∈???，若??<2???1，则??(??+1) BMN一定不是2??的倍数； C（2）对每个??∈??（其中??表示??在???中的补集），且??≠1，必存在??∈???,??<2???1，使 ??(??+1)是2??的倍数。 三、（本题满分50分） 设??0,??1,??2,?,????是平面上??+1个点，它们两两间的距离的最小值为??(??>0)，求证： 四、（本题满分50分） 12 ??1??|??0??1|?|??0??2|???|??0????|>()???(??+1)! 3设????=1++?+，??是正整数。证明：对满足0≤??
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