北师大版九年级概率的进一步认识

用树状图或表格求概率

相关知识点链接： 1、频数与频率

频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数， 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。

2、概率的意义和大小：概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间。 【知识点1】频率与概率的含义

在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即频率?频数

总次数把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。

【例1】不透明的袋中有3个大小相同的球，其中2个位白色，1个位红色，每次从袋中摸出一个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中，得到下表中的部分数据： 摸球次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 出现红球的频数 14 23 38 52 67 86 97 111 120 136 出现红球的频率 35％ 32％ 34％ 35％ 35％ （1）请将表中的数据补充完整。 （2）观察表中出现红球的频率，随着试验次数的增多，出现红球的概率（ ） 【知识点2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率 在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。

我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。 例2 三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是A，A，K，每次抽一张为试验一次，经过多次试验后，结果汇总表如下： 试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1000 …… 摸出A的频数 7 13 28 172 198 276 660 …… 摸出A的频率 75％ 62％ …… （1）将上述表格补充完整； （2）观察表格，估计摸到A的概率； （3）求摸到A的概率；

【只是点3】利用画树状图或列表法求概率（重难点） 【例4】有列表法求以下随机事件发生的概率

掷一枚均匀的骰子，每次试验掷两次，求两次骰子夫人点数和为7的概率。

例5 明华外出游玩时带了2件上衣（白色、米色）和3条裤子（蓝色、黑色、棕色），他任意拿出一件上衣和一条裤子恰好是白色和黑色的概率是多少？

题型一：求事件的概率

例1 某市今年的信息技术结业考试，采用学生抽签的方式决定自己的考试内容。规定：每位考生先在三个笔试题（题签分别用B1、B2、B3表示）中抽取一个，再在三个上机题（题签分别用代码J1、J2、J3表示）中抽取一个进行考试，小亮在看不到题签的情况下，分别从笔试题和上机题中随机的各抽取一个题签 （1）用画树状图或列表法表示出所有可能的结果。

（2）求小亮抽到的笔试题和上机题的题签代码的下标均为奇数的概率。

题型二 频率域概率关系的应用

例2 有两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是1和2 。从每组中各抽取一张记为一次试验，小明和小红做了200次试验后将两张牌的牌面数字之和的情况做了统计。制作了相应的频数分布直方图，如图所示，请估计两牌面数字之和为4的概率是 ，和为3的概率是 。

题型三 设计方案题

例3 请设计一个摸球游戏，使摸到红球的概率为

11，摸到白球的概率为。 23

综合提升：

1、在一个不透明的中装有5个完全相同的小球把它们分别标号为1,2,3,4,5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率是 。

2、小红上学要经过三个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是 。 3、一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1,1,2中的一个数指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好停在等分线上，当做指向右边的扇形） （1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；

（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”用列表法（或画树状图）求两人不谋而合的概率

4、在一个不透明的盒子中放油三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为

3,2,2?6（卡片除了实数不同外，其余均相同）

（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的数字是3的概率； （2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，

再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或画树状图法，求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率。

用频率估计概率

【知识点1】生日相同的概率

50个人中有2个人生日相同是不确定事件，可能有、也可能没有，只能通过试验频率估计概率。但因调查的次数而异。

【知识点2】用抽取法估计总体数目（重点） 此类问题有两种解决方法：（1）从袋中随意摸出一个球，记下颜色然后将其放入袋中，重复做这一过程，进行一定的次数，记录某一颜色球出现的次数，利用频率来估算这一颜色球的数目。 依据是：试验频率?概率

（2）利用抽样调查，从袋中一次摸出10个球，求出其中某一颜色球的个数与10的比值，再把球放回袋中，不断重复此过程，摸一定的次数，求出这一颜色的球的个数与10的比值的平均数，即平均概率，利用平均概率来估算这一颜色球的数目。 依据是：平均概率?概率

例1 一个不透明的口袋中装有6个红色的小正方体和若干个黄色的小正方体，小正方体除颜色外其他都相同，从口袋中随机摸出一个小正方体，记下颜色后再把它放回口袋中，不断重复此过程，共摸了300次，其中有100次摸到红色小正方体，则口袋中大约有 个黄色小正方体。 【知识点3】利用替代物模拟试验估算概率 在估算事件发生的概率时，有些调查即费力又费时，但要想使这种估算尽可能准确，就需要尽可能多的增加调查对象，在这种情况下，我们可以采用模拟试验的方法来估计事件发生的概率。通过模拟试验，在室内就可以完成收集数据、进行试验、统计结果等过程。

【例2】设计一个方案，估计8个人中只有2个人生肖相同的概率。

【知识点4】用计算器模拟试验估算概率 利用计算器产生随机数的大体步骤是： （1）进入产生随机数状态

（2）输入所产生随机数的范围 （3）按键得出随机数。

【例3】课外活动时，王老师把自己的一串钥匙交给李强，让他去办公室取一本书，但李强不小心把王老师告诉他的开办公室的那把钥匙的特征忘记了，只知道这串钥匙有8把，请你用计算器模拟试验的方法估测一下，他一次试开成功的可能性有多大。

【知识点5】模拟试验的应用

（1）概率是对随机现象的一种数学描述，他可以帮助我们更好地认识随机现象，并对生活中的一些不确定情况做出自己的决策。

（2）从表面上看，随机现象的每一次观察结果都是偶然的，但多次观察某个随机现象，立即可以发现：在大量的偶然之中存在着必然的规律。也就是当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近，因此，去哦们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率。 （3）通过模拟试验能估计事件所有可能结果总数n和其中事件A发生的可能的结果数m

（4）估计概率时，要看频率随试验次数的增加是否趋于稳定，不能随便取其中一个频率去估计。

例4 下表给出了一些模拟试验的方法，你觉得这些方法合适吗？若不合适，请说明理由，另外提出一个新的你认为合理的模拟试验的方法。 （1）

研究的问题 采用实物 一枚均匀的骰子 试验方式 抛掷骰子 考虑随机事件的概率 奇数点朝上的概率 （2） 采用实物 研究的问题 用替代物模拟试验的方法 一个饮料瓶盖 抛掷饮料瓶盖 正面朝上的概率 用替代物模拟试验方法 新的模拟试验方法 新的模拟试验方法 不透明袋中。有2个红球，1枚硬币 2个白球 试验方式 摸出1个球 抛起后落地 考虑随机事件的概率 恰好摸出红球的概率 正面朝上的概率 题型一 估计生日相同的概率

例1 利用课余时间，让每位同学调查10人的生日，然后从全班同学的调查结果中随机选取40个被调查人，看看他们中有没有2个人的生日相同，最后将全班同学的调查数据集中起来，设计出一个方案，估计40个人中有2人生日相同的概率。