厚度的 3 倍)。因此，我们可以进行如下的数学建模。
明确变量和参数：设饮料罐的半径为 r（因此，直径为 d = 2r）, 罐的高为 h. 罐内体积为 V. b 为除顶盖外的材料的厚度。其中 r, h 是自变量， 所用材料的体积 S 是因变量，而 b 和 V 是固定参数, ?是待定参数。S 和 V 分别为，
S(r,h)?[2? r h??r2???r2]b??b[(1??)r2?2rh]V?? rh, h?V/? r.注意，饮料罐侧面的体积应为
22
?h(r?b)2??hr2?2?rbh??hb2
因为 br，所以 ?hb2 可以忽略(极其重要的合理假设或简化)。
2g(r,h)?? rh?V. 记
于是我们可以建立以下的数学模型：
r?0, h?0minS(r,h)
s.. tg(r,h)?0其中 S 是目标函数，g(r,h)?0是约束条件，V 是已知的(即罐内体积一定)，即要在体积一定的条件下求表面积最小的 r, h 和 使得 r, h 和测量结果吻合。这是一个求条件极值的问题。
模型的求解：一种解法(从约束中解出一个变量，化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题)
22从 g(r,h)??rh?V?0 解出 h?V/? r，代入 S，使原问题化为：
?求 d : h 使 S 最小，即，求 r 使
2VS(r,h(r))?b[??(1??) r2]
r 最小。
求临界点: 令其导数为零得
dSV2b?2b[(1??)?r?2]?2((1??)?r3?V)?0. drrr解得临界点为 r?3V，因此 (1??)?h?V?(32(1??)?2V(1??)r)?2(1??)(3)?(1??)r?. V(1??)?2测量数据为 h/r=2, 即 4?1??, ?=3，即顶盖的厚度是其他材料厚度的 3 倍。
为验证这个 r 确实使 S 达到极小。计算 S的二阶导数
2VS???4b[2?(1??)?3]?0, r也是全局极小。
r?0.
因此，这个 r 确实使 S 达到局部极小，因为临界点只有一个，因此
2V2S(r)?b[??(1??) r]的极小的初等方法是应用算术几求
r何平均值不等式
n1nai?n?ai, ai?0, i?1,...,n， ?ni?1i?1当且仅当a1?a2?...?an时等号成立.
V2n?3, a?a?, a??(1??)r123令 ，于是有
r2V2b[??(1??) r2]?6b3(1??)?V2，当且仅当
rV??(1??)r2时等号成立，即 rVr?3?(1??)
，结果相同。
模型另一种解法 – Lagrange 乘子法 (增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)
当然，这个问题在讲一元函数求极值问题时没有办法讲，但是可以作为以后讲多元函数极值问题的伏笔。在课堂上可以启发性地讲一点。
2在上述解法中，从g(r,h)??rh?V?0解出 h 是关键的一步，但
是常常不能从约束条件g(r,h)?0中解出一个变量为另一个变量的函数(或者虽然能解出来，但很复杂)，无助于问题的求解。但是，如果
g(r,h)?0表示变量间的一种隐函数关系，并假设从中能确定隐函数h?h(r)(尽管没有解析表达式，或表达式很复杂)，那么，我们仍然
可以写成 S(r,h(r))，而且，由隐函数求导法则，我们有
?g?gdh??0 ?r?hdr因此，(r0,h0)是 S 的临界点的必要条件为
?S?gdS?S?Sdh?S?h?r?????0?gdr?r?hdr?r?h ?gdh ???r,?gdr?h假设 (r0,h0) 是 S 的临界点，则有
?S?r(r,h)??g00?r?S?h(r,h)?? ?g00?h于是，在 (r0,h0) 处，
?S?g????(S??g)?0?r?r?r ?S?g????(S??g)?0?h?h?h因此，如果我们引入 L(r,h,?)?S(r,h)??g(r,h)，那么，就有
?g??L?S??r??r???r?0??g??L?S????0? ?h??h?h??L????g?0?把问题化为求三元函数 L 的无条件极值的问题。函数 L 称为 Lagrange 函数，这种方法成为 Lagrange 乘子法。具体到我们这个问题，有如下的结果。
引入参数 ??0，令
L(r,h,?)??b[2 r h?(1??)r2]??[?r2h?V]
求临界点
??L??r??b[2(1??)r?2h]?2??rh?0???L2?2?br???r??r(2b??r)?0? ??h??L2??(?rh?V)?0????从第 2，3 式解得 h?V2b, ??，代入第 1 式得 2?rr2?br(1???VVV3)?0, r??r3(1??)?223(1??)?VV33h???(1??). 22V?3(1??)???V??3?(1??)???和前面的结果相同。
同学们可能会觉得这个方法不如前一个方法简单，但是当你们做习题 时你们就会体会到 Lagrange 乘子法的优点，以及进一步体会到使用数学软件的重要性和必要性。
验证和进一步的分析：有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的 3 倍。 体积为 V为什么？
要给学生留下尽可能大的想象空间, 鼓励学生讨论、争论, 建立自己的数学模型, 等等.
?? 6?12?339.3?355，即装不下那么多饮料，
2
初探大学生数学建模竞赛的深入开展
